Teorema del doppio limite
Bonjour, questo è il mio primo post e spero di fare tutto come si deve!
Sto studiando successioni di funzioni e serie di funzioni ed in particolare ho dei dubbi a riguardo del teorema del doppio limite. A me l'hanno enunciato in questi termini:
siano $f_n: (a,b) \to RR$ e $f: (a,b) \to RR$
sia $dot x$ un punto di accumulazione per $(a,b)$
$f_n \to f$ uniformemente in (a,b)
$EE$ $\lim_{n \to \dot x}f_n= L_n$ $AA$ n $in$ $NN$
allora si ha $\lim_{n \to \ infty}(lim_{x \to \dot x}f_n)=\lim_{x \to \ dot x}(lim_{n \to \infty}f_n)$
non l'hanno dimostrato, quindi forse anche per questo motivo non ne ho capito la potenzialità.
l'esercizio che mi ha mandato in crisi è
$f_n(x)= nxe^{x^2+x}$
si vede facilmente che la serie degli $f_n$ converge per $I=(-1,0]$
i dubbi arrivano quando mi dicono che la convergenza non può essere uniforme negli intorni destri di $x=-1$, perchè questo comporterebbe come conseguenza del teorema del doppio limite, la convergenza in $x=-1$.
Potreste spiegarmi questo passo dell'esercizio e, se possibile, darmi un'idea della potenzialità di questo teorema? grazie in anticipo!
Sto studiando successioni di funzioni e serie di funzioni ed in particolare ho dei dubbi a riguardo del teorema del doppio limite. A me l'hanno enunciato in questi termini:
siano $f_n: (a,b) \to RR$ e $f: (a,b) \to RR$
sia $dot x$ un punto di accumulazione per $(a,b)$
$f_n \to f$ uniformemente in (a,b)
$EE$ $\lim_{n \to \dot x}f_n= L_n$ $AA$ n $in$ $NN$
allora si ha $\lim_{n \to \ infty}(lim_{x \to \dot x}f_n)=\lim_{x \to \ dot x}(lim_{n \to \infty}f_n)$
non l'hanno dimostrato, quindi forse anche per questo motivo non ne ho capito la potenzialità.
l'esercizio che mi ha mandato in crisi è
$f_n(x)= nxe^{x^2+x}$
si vede facilmente che la serie degli $f_n$ converge per $I=(-1,0]$
i dubbi arrivano quando mi dicono che la convergenza non può essere uniforme negli intorni destri di $x=-1$, perchè questo comporterebbe come conseguenza del teorema del doppio limite, la convergenza in $x=-1$.
Potreste spiegarmi questo passo dell'esercizio e, se possibile, darmi un'idea della potenzialità di questo teorema? grazie in anticipo!
Risposte
"Mkik":
$f_n(x)= nxe^{x^2+x}$
si vede facilmente che la serie degli $f_n$ converge per $I=(-1,0]$
Siamo sicuri che la successione sia questa (che converge solo per \(x=0\))?
Scusate!
la successione è $f_n(x) = nxe^(n(x^2+x))$
la successione è $f_n(x) = nxe^(n(x^2+x))$
In questo caso hai che, per ogni \(n\), esiste
\[
\lim_{x\to -1^+} f_n(x) = -n =: L_n.
\]
Inoltre la successione converge puntualmente a \(f \equiv 0\) in \((-1, 0]\).
Se la convergenza fosse uniforme, per il teorema citato dovresti avere che
\[
\lim_n L_n = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 0.
\]
Ma \(\lim_n L_n = -\infty\); di conseguenza la convergenza non è uniforme.
\[
\lim_{x\to -1^+} f_n(x) = -n =: L_n.
\]
Inoltre la successione converge puntualmente a \(f \equiv 0\) in \((-1, 0]\).
Se la convergenza fosse uniforme, per il teorema citato dovresti avere che
\[
\lim_n L_n = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 0.
\]
Ma \(\lim_n L_n = -\infty\); di conseguenza la convergenza non è uniforme.
Ok, grazie.
Non sapevo bene come comportarmi nel fare il primo limite della tua risposta.
Ovviamente devo togliere la dipendenza da x.
Ancora non mi è chiarissimo il fatto che il mio libro dice .. la convergenza non può essere uniforme negli intorni destri di $x=-1$, perchè questo comporterebbe come conseguenza del teorema del doppio limite, la convergenza in $x=-1$.
Ma la mia funzione non potrebbe convergere fino alla frontiera per poi non convergere sulla frontiera dell'intervallo (-1,0]?
Non sapevo bene come comportarmi nel fare il primo limite della tua risposta.
Ovviamente devo togliere la dipendenza da x.
Ancora non mi è chiarissimo il fatto che il mio libro dice .. la convergenza non può essere uniforme negli intorni destri di $x=-1$, perchè questo comporterebbe come conseguenza del teorema del doppio limite, la convergenza in $x=-1$.
Ma la mia funzione non potrebbe convergere fino alla frontiera per poi non convergere sulla frontiera dell'intervallo (-1,0]?
Deve per forza togliere un intorno destro di \(-1\), perché fin quando \(-1\) è punto di accumulazione del dominio vale l'argomento del messaggio precedente.
scusa ma quello che non capisco è evidentemente la tesi del teorema: io vedo che posso scambiare le operazioni di limite ma questo cosa mi dice sulla convergenza?
cioè: mettiamo che la convergenza sia uniforme in un intorno destro del nostro punto critico, perchè questo comporterebbe come conseguenza del teo del doppio limite la convergenza in $x = -1$?
e poi che tipo di convergenza?
un'altra cosa che non mi è chiara, e penso che il punto che mi manda in crisi sia lo stesso è:
se ho una successione di funzioni che tende a una funzione limite discontinua in un punto, allora posso dire che non converge uniformemente alla funzione limite in un intervallo che contiene quel punto, per un noto teorema, ma come faccio a dire ,senza ulteriori indagini, (del tipo trovare una ${x_n}$ che si accumula al punto critico e studiare il comportamento di $f_n(x_n)$ ) che sicuramente devo togliere anche gli intorni destri e sinistri del punto critico?
cioè: mettiamo che la convergenza sia uniforme in un intorno destro del nostro punto critico, perchè questo comporterebbe come conseguenza del teo del doppio limite la convergenza in $x = -1$?
e poi che tipo di convergenza?
un'altra cosa che non mi è chiara, e penso che il punto che mi manda in crisi sia lo stesso è:
se ho una successione di funzioni che tende a una funzione limite discontinua in un punto, allora posso dire che non converge uniformemente alla funzione limite in un intervallo che contiene quel punto, per un noto teorema, ma come faccio a dire ,senza ulteriori indagini, (del tipo trovare una ${x_n}$ che si accumula al punto critico e studiare il comportamento di $f_n(x_n)$ ) che sicuramente devo togliere anche gli intorni destri e sinistri del punto critico?
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