Teorema del Dini in un punto fuori dall'origine
Salve ragazzi, avrei un problema da risolvere con un esercizio di analisi 2 in particolare sul teorema del Dini.
Testo dell'esercizio:
Dimostrare che l’equazione
$ g(x, y, z) = y sin z + z ln x + x − 1 = 0 $
definisce implicitamente in un intorno del punto (1, 0, 0) una e una sola funzione x = f(y,z). Mediante gli sviluppi di Taylor fino all’ordine necessario, verificare che il punto (0, 0) è critico per la funzione implicitamente definita e determinarne la natura.
Il mio problema principale è che non ho mai risolto un esercizio sul Dini fuori dal punto (0,0,0) quindi dell'origine.
Non sapendo come andare avanti mi sono bloccato praticamente all'inizio e sono riuscito a verificare solo le ipotesi del teorema. Qualcuno di voi sà come indirizzarmi sulla via giusta?
Grazie.
Testo dell'esercizio:
Dimostrare che l’equazione
$ g(x, y, z) = y sin z + z ln x + x − 1 = 0 $
definisce implicitamente in un intorno del punto (1, 0, 0) una e una sola funzione x = f(y,z). Mediante gli sviluppi di Taylor fino all’ordine necessario, verificare che il punto (0, 0) è critico per la funzione implicitamente definita e determinarne la natura.
Il mio problema principale è che non ho mai risolto un esercizio sul Dini fuori dal punto (0,0,0) quindi dell'origine.
Non sapendo come andare avanti mi sono bloccato praticamente all'inizio e sono riuscito a verificare solo le ipotesi del teorema. Qualcuno di voi sà come indirizzarmi sulla via giusta?
Grazie.
Risposte
Basta un cambiamento di variabile: $ X=x-1, Y=y, Z=z$. Nelle variabili $X, Y, Z$ il problema è localizzato nell'origine. (Con un po' di pratica uno riesce a fare i conti direttamente nelle coordinate iniziali, ma per le prime volte il cambiamento di variabile può servire).
.
"dissonance":
Basta un cambiamento di variabile: $ X=x-1, Y=y, Z=z$. Nelle variabili $X, Y, Z$ il problema è localizzato nell'origine. (Con un po' di pratica uno riesce a fare i conti direttamente nelle coordinate iniziali, ma per le prime volte il cambiamento di variabile può servire).
Ok, dunque dovrei riscriverla così?
$ ysen(z)+y^2-log(1+y)+[(x-1)-1]^2=0 $
però facendo così, allo sviluppo del I ordine ottengo:
\( y[z+o(z)]+y^2-[y+o(y)]+[x^2-4x+4+o(x^2)]=0 \)
eliminando quindi i termini di II grado superiore, ho:
\( -y+o(y)-4x+4=0 \)
Il che comunque non mi porta da nessuna parte visto che la soluzione è:
\( x = 1 + yz + o(y2 + z2) \)
Sapete dire i miei errori? grazie.
Ma no. Sostituisci $x=X+1, y=Y, z=Z$. Poi sviluppa in $X, Y, Z$.
Dopo questo suggerimento, non mi sembra così evidente da parte mia l'individuazione dell'errore.
Probabilmente mi manca qualche concetto, anche se in (0,0,0) mi riesce di risolverli senza problemi.
Avrei bisogno di una spiegazione un pochino più ampia di questa data. Grazie comunque.
Probabilmente mi manca qualche concetto, anche se in (0,0,0) mi riesce di risolverli senza problemi.
Avrei bisogno di una spiegazione un pochino più ampia di questa data. Grazie comunque.
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