Teorema del Dini e derivata seconda

[freddofede]

Si sa che, data la funzione $F(x,y)=0$ e $f(x)$ funzione implicita definita da essa in un dato intervallo, si può derivare implicitamente ottenendo:

$f'(x)=(-F_{x}(x,f(x)))/(F_{y}(x,f(x)))$

e fin qui ci siamo. Come si fa però ad ottenere

$f''(x)=-(F_{x x}F_{y}^{2}-2F_{xy}F_{x}F_{y}+F_{yy}F_{x}^{2})/(F_{y}^{3})$

?

Nel libro non sono riportati passaggi, quindi se qualcuno avesse la pazienza di darmi almeno qualche hint...

[Fioravante Patrone1]

Derivata di funzione composta, ovviamente.
Buoni calcoli.

Mi sa che se cerchi sul forum qualcosa potesti trovare (di certo ci siamo "sbattuti" recentemente con la derivata seconda dell'inversa).

[freddofede]

Ho provato ma non mi torna, a partire da quel cubo sotto che dovrebbe essere quadrato.

[Megan00b]

Sì, derivata di funzione composta:
$f''(x)=-d/dx(F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))=-((F_{x x}+F_{xy}f')F_y-F_x(F_{yx}+F_{yy}f'))/(F_y^2)$
Sostituendo f':
$f''(x)=-(F^2_yF_{x x}-2F_xF_yF_{xy}+F_x^2F_{yy})/(F_y^3)$. Omessi gli argomenti ma si capiscono.

[Va_lentina1]

Scusate ho un problema pure io su questa formula, ovvero:

- dopo aver esplicitato la $f'(x)$ con la formula del teorema di Dini $f'(x)=-(F_x)/(f_y)$ e aver moltiplicato tutto per $F_y$ trovo:

$f''(x)=-(F_(xx)F_y^2-F_(xy)F_x -F_(yx)F_xF_y+F_(yy)F_x^2)/(F_y^3)$

a questo punto non capisco come potrei sommare tra di loro le derivate miste $F_(xy)$ visto che a me viene solo una delle due è moltiplicata per $F_y$, però dubito che Dini si sia sbagliato solo che non riesco proprio a capire dove sbaglio!
Inoltre a me alla fine risulta tutto fratto $F_y$ senza il cubo visto che dopo questo passaggio si ridivide tutto per $F_y^2$ per far riapparire f'.

(Questo è il mio primo messaggio postato in questo forum, non so se ho fatto bene a scrivere qua o se avrei dovuto aprire una nuova discussione, inoltre ho fatto l'anteprima e non capisco perchè scrive $F_(xx)$ anche se io digito F_(xx) .)

[gugo82]

"Va_lentina":(Questo è il mio primo messaggio postato in questo forum, non so se ho fatto bene a scrivere qua o se avrei dovuto aprire una nuova discussione, inoltre ho fatto l'anteprima e non capisco perchè scrive $F_(xx)$ anche se io digito F_(xx) .)

Ok così.

Per quanto riguarda il codice, metti uno spazio tra le due "x": infatti la stringa \$xx\$ è interpretata dal compilatore come il simbolo del prodotto cartesiano $xx$, mentre la stringa \$x x\$ restituisce correttamente $x x$.
Quindi consiglio di scrivere \$F_(x x)\$ per ottenere $F_(x x)$.

[Va_lentina1]

Ah perfetto grazie. Se qualche anima pia sta pensando di rispondere, lasci perdere la frase che inizia con "Inoltre", non avevo visto che nella formula finale riportata non si riesplicita $f'(x)$ quindi è giusto che il denominatore sia al cubo.