Teorema del Dini - Convergenza uniforme

[Plepp]

Ho copiato la dimostrazione dagli appunti di un mio collega ma non ci ho capito granché, quindi ho provato a sistemarla: ditemi se vi convince Riporto l'enunciato per comodità.

Teorema. Sia $(f_n)_{n\in NN}$ una successione di funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]\subseteq RR$ e sia $f:[a,b]\to RR$ continua tale che $f_n\to f$ puntualmente in $[a,b]$. Supponiamo inoltre che $(f_n)_{n\in NN}$ sia monotona (rispetto a $n$). Allora la convergenza è uniforme.

Bene, supponiamo $(f_n)_{n\in NN}$ decrescente. Osserviamo innanzitutto che fissato $x\in [a,b]$, dalle ipotesi si ha
\[\exists \lim_n f_n(x)=\inf_n f_n(x)=f(x) \]
dunque
\[\forall x\in[a,b],\ \forall n\in\mathbb{N}, \qquad f_n(x)\ge f(x)\tag{1}\]
Supponiamo ora per assurdo che $(f_n)_{n\in NN}$ non converga uniformemente a $f$, i.e.
\[\exists \varepsilon >0: \forall k\in \mathbb{N}, \exists n_k>k,\exists x_k\in [a,b],\ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\stackrel{(1)}{=}f_{n_k}(x_k)-f(x_k)\ge \varepsilon\tag{2}\]
Ottengo una successione $(x_k)_{k\in NN}$ di punti di $[a,b]$, da cui posso estrarre una sottosuccessione $(x_{h(k)})_{k\in NN}$ che converge a un punto $x_0\in[a,b]$ (tutto ciò per la compattezza di $[a,b]$).
Per la monotonia di $(f_n)_{n\in NN}$ ho che $\forall m \in NN$ e $\forall k\ge m$ è $f_m\ge f_k\ge f_{n_k}\ge f$, e quindi, per la $(2)$,
\[\forall m\in \mathbb{N}, \forall k\ge m, \qquad f_m(x_{h(k)})-f(x_{h(k)})\ge f_{n_k}(x_k)-f(x_k) \ge \varepsilon \]
Passando al limite per $k\to \infty$ ottengo, utilizzando la continuità di $f_m$ e $f$,
\[f_m(x_0)-f(x_0)\ge \varepsilon\]
Per quanto detto, la precedente vale per ogni $m\in NN$, ma ciò contraddice il fatto che $(f_m)_{m\in NN}$ converge puntualmente a $f$ in $x_0$.

Ci siamo??

[gugo82]

Direi di sì.

Si potrebbe fare pure così.

Suppongo che \((f_n)\) decresca, cioé che \(f_n(x)\geq f_{n+1}(x)\geq f(x)\) per ogni \(x\in [a,b]\).
Per convergenza puntuale, per ogni fissato \(\varepsilon >0\) ed ogni \(x\in [a,b]\) esiste un \(\nu=\nu (x,\varepsilon)\in \mathbb{N}\) tale che:
\[
\tag{1}
f_{\nu(x,\varepsilon)} (x) -f(x) = |f_{\nu(x,\varepsilon)} (x) -f(x)| <\frac{\varepsilon}{4}\; .
\]
per continuità, in corrispondenza di \(\nu(x,\varepsilon)\) ed \(\varepsilon\) esiste un intorno aperto \(I(x,\varepsilon)\) tale che:
\[\tag{2}
\forall y\in I(x,\varepsilon),\ \begin{cases}
|f_{\nu(x,\varepsilon)} (y) -f_{\nu(x,\varepsilon)} (x)|<\frac{\varepsilon}{4}\\
|f(y)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{4}\; .
\end{cases}
\]
Per compattezza, dalla famiglia \(\{I(x,\varepsilon)\}_{x\in [a,b]}\) che ricopre \([a,b]\) si può estrarre un ricoprimento finito; pertanto esistono \(N\) punti \(x_1,\ldots ,x_N\) tali che \(\{I(x_1,\varepsilon),\ldots ,I(x_N,\varepsilon)\}\) ricopre \([a,b]\).
Chiamo \(\nu(\epsilon):= \max\{ \nu (x_1,\varepsilon ),\ldots ,\nu (x_N,\varepsilon)\}\) e faccio vedere che questo è l'indice che mi serve per verificare la convergenza uniforme.
Fissato ad arbitrio \(y\in [a,b]\) esiste un \(I(x_k,\varepsilon)\) cui \(y\) appartiene, perciò per ogni indice \(n\geq \nu(\varepsilon)\) si ha:
\[
\begin{split}
|f_n(y)- f(y)| &=f_n(y)-f(y)\\
&\leq f_{\nu(\varepsilon)} (y) - f(y)\\
&\leq f_{\nu (x_k,\varepsilon)} (y) - f(y)\\
&= |f_{\nu (x_k,\varepsilon)} (y) - f(y)|\\
&\leq |f_{\nu (x_k,\varepsilon)} (y) - f_{\nu(x_k,\varepsilon)} (x_k)| +|f_{\nu(x_k,\varepsilon)} (x_k) - f(x_k)| + |f(x_k)-f(y)|\\
&\stackrel{\text{(1) & (2)}}{\leq} \frac{3}{4}\ \varepsilon
\end{split}
\]
dunque:
\[
\max_{y\in [a,b]} |f_n(y)-f(y)|\leq \frac{3}{4}\ \varepsilon <\varepsilon
\]
per ogni \(n\geq \nu(\varepsilon)\), come volevo.

Questa dimostrazione si ripete pari pari per funzioni continue su spazi compatti di qualsiasi natura.

[Plepp]

Grazie mille Gugo

Purtroppo mi manca qualche concetto per comprendere la tua dimostrazione (ricoprimenti e quant'altro). La conservo per il secondo semestre

[gugo82]

Beh, dipende dalla nozione di compattezza che ti hanno dato.
A questo punto suppongo che ti abbiano chiamato "compatto" un insieme "sequenzialmente compatto" (i.e., da ogni successione di quell'insieme ha una sottosuccessione convergente), senza presentarti il concetto topologico più astratto (i.e., da ogni ricoprimento aperto dell'insieme se ne può estrarre uno finito).
Comunque non crucciarti di questo: confondere compattezza e compattezza per successioni è una cosa molto da analisti.

[Plepp]

Sì, sì, abbiamo chiamato compatto un insieme sequenzialmente compatto A parte due chiacchiere su quella di $RR$ e in generale su quella degli spazi metrici, non abbiamo detto altro di Topologia ancora (dovrebbe essere argomento del corso di Geometria 4 e/o Analisi 4, quindi roba del prossimo semestre ).

[_fabricius_1]

"Plepp":
\[\forall m\in \mathbb{N}, \forall k\ge m, \qquad f_m(x_{h(k)})-f(x_{h(k)})\ge f_{n_k}(x_k)-f(x_k) \ge \varepsilon \]

Non mi torna questa disuguaglianza, nel primo membro c'è $x_{h(k)}$ e nel secondo $x_k$;
non dovrebbe essere qualcosa tipo: $f_m(x_{h(k)})-f(x_{h(k)})>= f_{n(h(k))}(x_{h(k)})-f(x_{h(k)})$ ?

[Plepp]

Sì è così, ho sbagliato nel ricopiare

[gugo82]

@ Plepp: Potresti anche fare a meno di passare ad un'estratta... Basta semplicemente "rinominare" la successione.

[Plepp]

Mmmm...non ci arrivo Cosa intendi?

[gugo82]

Un trucco che si usa sempre per non complicare le notazioni è quello di dire cose del genere: "dalla successione \((x_n)\), per compattezza, si può estrarre una successione convergente; quindi, d'ora in avanti, indicheremo col simbolo \((x_n)\) tale sottosuccessione convergente."

[Plepp]

Mai visto far così, ma buono a sapersi Grazie!

[gugo82]

"Plepp":Mai visto far così, ma buono a sapersi Grazie!

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