Teorema del Dini

[vivi996]

Buongiorno, scusate il disturbo. Non capisco proprio come applicare il teorema del Dini.
In particolare, ho due esercizi che non mi tornano.
1) Studiare la funzione definita implicitamente in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ da
$e^xy + x + y = 1$ in $(0,0)$

Verifico le ipotesi del teorema del dini e trovo $\varphi(x)$ attraverso il rapporto delle derivate parziali.
Poi ho le idee un pò confuse sul come procedere.

Per il secondo esercizio apro un altro argomento per evitare confusione
Grazie mille

[feddy]

Sicuramente $\varphi(x)$ non lo trovi come rapporto delle derivate parziali... al massimo con un'espansione in serie di Taylor, a partire dal rapporto delle derivate...

Inoltre, quell'equazione non è soddisfatta in $(0,0)$. E' plausibile che tu abbia
$f(x,y)=e^{xy}+x-y=1$
Definita $F: RR^2 \rarr RR, x \mapsto e^{xy}+x+y-1$, allora $\frac{\partial F}{\partial y} = -1+x e^{xy} \ne 0 \forall (x,y)$. In particolare $f(0,0)=-1$.
Quindi, per il Dini, esiste un intorno di $x=0$, say $I_0$, e una funzione $y=y(x)$ definita implicitamente da $F(x,y)=0$, con $y(0)=0$. Sempre per il Dini, $y'(x)=-\frac{y(x)e^{xy(x)}+1}{x e^{xy(x)}-1}$. Sempre in $x=0$, $y'(0)=1$. Nota che la funzione non la si sa scrivere esplicitamete, è proprio questa la potenza del teorema.
Prova a calcolare $y''(0)$:

[feddy]

Altro indizio, per calcolare $y'(x)$, deriva rispetto a $x$ l'identità $F(x,y(x))=0$:
ottieni $e^{xy}(y+xy') +1-y'=0$, da cui ho ricavato l'espressione per $y'(x)$...

per calcolare $y''(0)$, deriva ancora rispetto a $x$ l'ultima identità che ho scritto, inserendo poi $x=0,y(0)=0,y'(0)1$...