Teorema del Dini

[laurascara1]

Data l'equazione
$e^(xy)+x^2 y+2y-3=0$
Verificare che nell'intorno di $P=(0,1)$ definisce implicitamente una $y=\phi(x)$
E calcolare il $\lim_{x\to \0}(1+2\phi(x))/x^2$
Penso che si risolva con il teorema del Dini ma non so precisamente come utilizzarlo.

[dan952]

Si penso proprio che tu debba applicare Dini...vedi se sono soddisfatte le ipotesi, ovvero se
$f(0,1)=0$ e $f'_y(0,1)!=0$.

Edit: Non era necessario de l'Hopital per il limite bastava osservare che se le ipotesi sopra erano soddisfatte allora $\phi(0)=1$

[laurascara1]

Ok. La derivata prima mi viene
$\phi'=(ye^(xy)+2y)/(xe^(xy)+x^2+2)$

$\phi'(0,1)= 3/2$ e il limite mi verrebbe infinito. Potrebbe essere giusto?

[dan952]

Attenta è $\phi(x)$ non $\phi(x,y)$ quindi è scorretto scrivere $\phi'(0,1)=1/2$ (hai fatto male la derivata $f_x$)
Comunque apparte questo se le ipotesi sono soddisfatte allora $\phi(0)=1$ automaticamente e quindi $\lim \frac{1+2\phi(x)}{x^2}=+\infty$

[laurascara1]

Ok. Però avevo visto su un altro sito che per calcolare il limite bisogna determinare lo sviluppo di Taylor.
$\phi(x)=\phi(0)+\phi'(0)x+(\phi''(0))/2x^2+ o(x^2)$
Però in effetti facendo con lo sviluppo di Taylor. Viene comunque +infinito.

[dan952]

Qual è il sito?
Non credo che serva necessariamente Taylor poiché essendo $\phi(x) \in C^1([-\delta,+\delta])$ con $\delta>0$, quindi $\lim_{x \rightarrow 0} \phi(x)=\phi(0)=1$