Teorema del dini
Stabilire che l'equazione $e^(3x-2y^2)-cos^2(x+y)=0$ definisce implicitamente una funzione x = f(y) in
un intorno del punto (0;0). Successivamente determinare la formula di Taylor per f(y) fi no al terzo ordine... ho dei problemi con questo esercizio, in quanto al primo ordine non mi viene niente , ovvero mi viene x= o(y) , può essere?
grazie in anticipo 
un intorno del punto (0;0). Successivamente determinare la formula di Taylor per f(y) fi no al terzo ordine... ho dei problemi con questo esercizio, in quanto al primo ordine non mi viene niente , ovvero mi viene x= o(y) , può essere?
grazie in anticipo
Risposte
Se non ci fai capire come hai tirato fuori quel risultato, diventa un po' difficile aiutarti. 
primo ordine
utilizzando gli sviluppi di taylor ho che: (1+3x)(1-2y^2)-1=0 sviluppando i calcoli e prendendo solo i termini di primo grado ho che : 3x= ..o(y)??
utilizzando gli sviluppi di taylor ho che: (1+3x)(1-2y^2)-1=0 sviluppando i calcoli e prendendo solo i termini di primo grado ho che : 3x= ..o(y)??
Utilizzando gli sviluppi di Taylor di chi? Dove? Come? Perché?
Che dice il teorema del Dini? Quali sono le sue conseguenze?
Che dice il teorema del Dini? Quali sono le sue conseguenze?
ma non riesco a capire perchè fai così con me... comunque ho usato gli sviluppi di e , e del coseno
"falcao":
ma non riesco a capire perchè fai così con me...
Perché stenti a far capire come ti sei mosso, perché sembra che fai passaggi meccanicamente, perché non comunichi se hai capito come va applicata la teoria alla soluzione degli esercizi.
Quindi cerco di porti domande per comprendere quali e quante sono davvero le tue difficoltà, se ne hai perché non ti è chiaro qualcosa o perché semplicemente non hai studiato a dovere la teoria... Insomma, mi interesso al tuo bene anche se può non sembrare così.
se avevo tutto chiaro non stavo qui xD... mi potrebbe far vedere soltanto lo sviluppo del primo ordine e spiegarmi dall'esempio il perché .Io credo che questa sia la soluzione migliore, perché solo con la teoria io non riesco a capire
Vabbé, ma è una perdita di tempo per me e per te.
Detto ciò, questo è l'ultimo mio post in un tuo thread, dato che non mi piace come interagisci con la community.
Innanzitutto, ricorda il teorema del Dini (versione in due variabili, per i poveri di comprendonio):
Questo teorema ti informa di tre cose, cioé che, nelle sue ipotesi: 1) esiste una funzione implicitamente definita dall'equazione \(F(x,y)=0\), 2) che tale funzione è unica e 3) che ha la stessa regolarità della \(F\), per via della formula di derivazione esplicita (D).
Dalla (D), per induzione, segue che se \(F\in C^k(\Omega)\) allora è pure \(f\in C^k(I)\) o \(\phi \in C^k(J)\), per \(k\) qualsiasi (e dunque anche per \(k=\infty\)).
Detto ciò, se espliciti la tua equazione rispetto a \(y\), ossia se scrivi \(x=\phi (y)\), hai \(F(\phi (y),y)=0\) dunque pure:
\[
\begin{split}
F_x(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + F_y(\phi (y),y) &=0\\
F_{xx}(\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^2 + 2\ F_{xy}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + F_{yy}(\phi(y),y) + F_x (\phi (y),y)\ \phi^{\prime \prime} (y)&=0\\
F_{xxx} (\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^3 + F_{xxy}(\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^2 + 2\ F_{xx}(\phi (y),y)\ \phi^\prime(y)\ \phi^{\prime \prime}(y) &\phantom{=}\\
+2\ F_{xxy}(\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^2 + 2\ F_{xyy}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + 4\ F_{xy}(\phi (y),y)\ \phi^{\prime \prime} (y) &\phantom{=}\\
+F_{xyy}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + F_{yyy}(\phi (y),y) &\phantom{=}\\
+ F_{xx}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y)\ \phi^{\prime \prime} (y) + F_{xy}(\phi (y),y)\ \phi^{\prime \prime}(y) + F_x(\phi (y),y)\ (\phi^{\prime \prime \prime} (y)&=0
\end{split}
\]
da cui puoi ricavare le derivate che ti interessano per scrivere lo sviluppo in serie.
Good night and good luck.
Detto ciò, questo è l'ultimo mio post in un tuo thread, dato che non mi piace come interagisci con la community.
Innanzitutto, ricorda il teorema del Dini (versione in due variabili, per i poveri di comprendonio):
Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) un aperto non vuoto, \(F:\Omega \to \mathbb{R}\) una funzione di classe \(C^1(\Omega)\) ed \((x_0,y_0)\in \Omega\).
Se \(F(x_0,y_0)=0\) e se \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\) [risp. \(F_x(x_0,y_0)\neq 0\)], esistono un intorno \(I\) di \(x_0\), un intorno \(J\) di \(y_0\) ed un'unica applicazione \(f:I\to J\) [risp. \(\phi :J\to I\)] tali che:
[list=1][*:5ssu14zm] \(I\times J\subseteq \Omega\);
[/*:m:5ssu14zm]
[*:5ssu14zm] \(f(x_0)=y_0\) [risp. \(\phi (y_0)=x_0\)];
[/*:m:5ssu14zm]
[*:5ssu14zm] per ogni \(x\in I\) [risp. \(y\in J\)], risulta \(F(x,f(x))=0\) [risp. \(F(\phi (y),y)=0\)].[/*:m:5ssu14zm][/list:o:5ssu14zm]
Inoltre, \(f\) è di classe \(C^1(I)\) [risp. \(\phi\) è di classe \(C^1(J)\)] e la derivata di \(f\) è data da:
\[ \tag{D}
f^\prime (x) = -\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}\qquad \text{[risp. } \phi^\prime (y) = -\frac{F_y(\phi (y),y)}{F_x(\phi (y),y)}\text{].}
\]
Questo teorema ti informa di tre cose, cioé che, nelle sue ipotesi: 1) esiste una funzione implicitamente definita dall'equazione \(F(x,y)=0\), 2) che tale funzione è unica e 3) che ha la stessa regolarità della \(F\), per via della formula di derivazione esplicita (D).
Dalla (D), per induzione, segue che se \(F\in C^k(\Omega)\) allora è pure \(f\in C^k(I)\) o \(\phi \in C^k(J)\), per \(k\) qualsiasi (e dunque anche per \(k=\infty\)).
Detto ciò, se espliciti la tua equazione rispetto a \(y\), ossia se scrivi \(x=\phi (y)\), hai \(F(\phi (y),y)=0\) dunque pure:
\[
\begin{split}
F_x(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + F_y(\phi (y),y) &=0\\
F_{xx}(\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^2 + 2\ F_{xy}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + F_{yy}(\phi(y),y) + F_x (\phi (y),y)\ \phi^{\prime \prime} (y)&=0\\
F_{xxx} (\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^3 + F_{xxy}(\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^2 + 2\ F_{xx}(\phi (y),y)\ \phi^\prime(y)\ \phi^{\prime \prime}(y) &\phantom{=}\\
+2\ F_{xxy}(\phi (y),y)\ (\phi^\prime (y))^2 + 2\ F_{xyy}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + 4\ F_{xy}(\phi (y),y)\ \phi^{\prime \prime} (y) &\phantom{=}\\
+F_{xyy}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y) + F_{yyy}(\phi (y),y) &\phantom{=}\\
+ F_{xx}(\phi (y),y)\ \phi^\prime (y)\ \phi^{\prime \prime} (y) + F_{xy}(\phi (y),y)\ \phi^{\prime \prime}(y) + F_x(\phi (y),y)\ (\phi^{\prime \prime \prime} (y)&=0
\end{split}
\]
da cui puoi ricavare le derivate che ti interessano per scrivere lo sviluppo in serie.
Good night and good luck.
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