Teorema del differenziale totale(dubbio)

[anto_zoolander]

Ciao
ho un dubbio circa la conclusione del teorema.
Posto il teorema, per capirci, e vado esprimendo le perplessità.

sia $f:AsubseteqRR^2->RR$ una funzione e $P=(x_0,y_0)$ interno ad $A$.
Supponiamo che $f$ sia derivabile in $P$.

Se $f_x,f_y$ sono continue in $P$ allora $f$ è differenziabile in $P$.

dimostrazione

consideriamo la scrittura $lim_((h,k)->(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-nablaf(x_0,y_0)*(h,k))/sqrt(h^2+k^2)$

$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)]+[f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)]$

fissiamo $h,k$ in modo tale che $(x_0+h,y_0+k) inA$
Poiché la funzione è derivabile chiaramente $f(x_0,y)$ è una funzione di una variabile derivabile in $y_0$ e pertanto continua in $y_0$ pertanto nell'intervallo di estremi $y_0,y_0+k$ con $k ne 0$ essa soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange e possiamo trovare $c_k$ interno all'intervallo tale che

$f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0,c_k)*k$

prima osservazione: qui a mio avviso non c'è bisogno di usare l'ipotesi di continuità della derivata parziale per mostrare che $f_x(x_0,c_k)->f_x(x_0,y_0)$ questo poichè

$lim_(k->0)f_y(x_0,c_k)=lim_(k->0)(f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0))/k=f_y(x_0,y_0)$

continuo

allo stesso modo si mostra che nell'intervallo di estremi $x_0,x_0+h$ si ha un $c_h$ per cui

$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)=f_x(c_h,y_0+k)*h$

a questo punto possiamo stimare la differenza

$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0,c_k)*k+f_x(c_h,y_0+k)*h$

a questo punto possiamo stimare il limite, potendo uguagliarlo al seguente

$lim_((h,k)->(0,0))(h[f_x(c_k,y_0+k)-f_x(x_0,y_0)]+k[f_y(x_0,c_h)-f_y(x_0,y_0)])/sqrt(h^2+k^2)$

ora qui per concludere basta mostrare che tale limite fa $0$. Chiaramente $h/sqrt(h^2+k^2),k/sqrt(h^2+k^2)$ sono limitate, quindi è sufficiente mostrare che entro le due parentesi quadre i due termini tendono entrambi a $0$.

per quanto riguarda la seconda chiaramente mi basta prendere un intorno di $0$ in cui la componente $k$ mi verifica il limite di prima. Ma per quanto riguarda la seconda come posso concludere?

Sul mio libro afferma che si può concludere per continuità di $f_y$ ma non vedo come usarla questa continuità visto che non abbiamo a che fare né con una successione, né con una funzione.
Chiaramente $c_k->x_0$ e $y_0+h -> y_0$ quindi sicuramente $(c_k,y_0+k)->(x_0,y_0)$ ma come uso la continuità di $f_y$?

magari considerando che se $(c_k,y_0+k)$ sta in un intorno di $(x_0,y_0)$ allora $f_y$ di quella cosa sta in un intorno di $f(x_0,y_0)$?

sopratutto: c'è una interpretazione geometrica di questo teorema? non mi dispiacerebbe.

[dissonance]

Non lo so, non ho neanche letto tutto, ma è noto che questo teorema vale in ipotesi più rilassate. Per esempio, basta richiedere che tutte le derivate meno una siano continue.

[anto_zoolander]

Infatti io proprio questo intendo. Ho utilizzato al più la continuità della sola derivata parziale $f_y$ in questo caso. Però volevo capire se il modo in cui l'ho dimostrata sia corretto.
Non la leggerai, vero ?