Teorema del differenziale totale

[Sk_Anonymous]

Vorrei formulare il teorema del differenziale totale, senza essere rigoroso, sarà evidente il punto che mi interessa sottolineare, in due modi distinti:

(1) Se una funzione è continua e ha entrambe le derivate parziali continue, allora è differenziabile
(2) Se una funzione è continua e ha almeno una derivata parziale continua, allora è differenziabile

La (1) è come l'aveva spiegata il mio prof all'inizio, è quella che ho trovato sul mio libro di testo e su TUTTE le dispense che ho consultato in internet. La (2) l'ho trovata su una dispensa del mio prof, e chiedendo mi ha detto che è giusta. E' solo una condizione un po' più debole, ma si riesce a dimostrare che basta che una sola derivata parziale sia continua.
Vi chiedo, non essendoci tra l'altro in quella dispensa dimostrazione, nè avendo trovato la (2) in nessuna altra parte, è davvero così? Potete fornirmi una dimostrazione della forma (2)?

[Rigel1]

Prendi $f:\RR^2\to\RR$ definita da $f(x,y) = |x|$.
Questa funzione è continua su $\RR^2$, e la sua derivata parziale rispetto alla $y$ è identicamente nulla, dunque continua.
Non mi sembra però che sia differenziabile nell'origine.

Edit: a meno che non ci sia qualche altra ipotesi implicita, tipo l'esistenza in un intorno delle derivate parziali o similare.

[dissonance]

"Rigel":Edit: a meno che non ci sia qualche altra ipotesi implicita, tipo l'esistenza in un intorno delle derivate parziali o similare.

Si è così, Rigel. Sul Salsa-Pagani, vol.I (vecchia edizione) si parla di qualche sottigliezza di questo tipo. Se volete cerco la pagina.

Comunque mi ricordo che era solo questione di ripercorrere la dimostrazione con attenzione, e ci si rendeva conto che si poteva fare a meno della continuità di una delle derivate. Però comunque quella derivata deve esistere.

[Rigel1]

Ok, allora ci siamo.
Se tutte le $n$ derivate parziali prime sono definite in un intorno del punto $x_0$ e se $n-1$ sono continue in $x_0$, allora la funzione è effettivamente differenziabile in $x_0$.

[Sk_Anonymous]

SI scusate, tra le ipotesi vi è che le derivate devono esistere.

EDIT: Ho visto ora che dal Pagani-Salsa volume 1 pag. 358 "Nel caso generale è sufficiente richiedere la continuità di tutte le derivate parziali di f tranne una". Grazie mille per le risposte!