Teorema del differenziale totale
Salve a tutti, mi sto preparando per l'esame di analisi 2 e stavo ripercorrendo tutto il programma... quando ho visto un'esempio in cui il professore dimostrava il fatto che l'esistenza del gradiente di una funzione in un punto non era una condizione sufficiente per la differenziabilità in quello stesso punto.
La funzione era $ \sqrt(|xy|) $ ovviamente in $RR^2$. Abbiamo che
$ \frac {del f(0,0)}{ del x }= lim_{x->0} \frac { f(x,0) - f(0,0) } { x } = 0$
$ \frac {del f(0,0)}{ del y }= lim_{y->0} \frac { f(0,y) - f(0,0) } { y } = 0$
Dunque visto che il gradiente è il vettore avente per componenti le derivate parzieli, abbiamo $nabla f(0,0) = (0,0)$
Tuttavia la funzione non è differenziabile perchè se proviamo a calcolare
$lim_{(x,y)->(0,0)} \frac { f(x,y) - f(0,0) } { \sqrt( x^2 + y^2) }$ attuando la sostituzione $y=mx$ ci troviamo con
$lim_{(x,y)->(0,0)} \sqrt( \frac { |mx^2| } { x^2( 1 + m^2) } ) = \sqrt( |m|/(1+m^2) )$
Dunque tale limite non esiste, e la funzione non è differenziabile.
Successivamente ci viene spiegato il teorema del differenziale totale che ( evito di scrivere in formule perchè impiegherei troppo tempo ) se esistono le derivate parziali della funzione, e sono continue in quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.
Ora... la funzione di partenza non ammetteva derivate parziali continue? Quindi non dovrebbe essere differenziabile in $(0,0)$?
La funzione era $ \sqrt(|xy|) $ ovviamente in $RR^2$. Abbiamo che
$ \frac {del f(0,0)}{ del x }= lim_{x->0} \frac { f(x,0) - f(0,0) } { x } = 0$
$ \frac {del f(0,0)}{ del y }= lim_{y->0} \frac { f(0,y) - f(0,0) } { y } = 0$
Dunque visto che il gradiente è il vettore avente per componenti le derivate parzieli, abbiamo $nabla f(0,0) = (0,0)$
Tuttavia la funzione non è differenziabile perchè se proviamo a calcolare
$lim_{(x,y)->(0,0)} \frac { f(x,y) - f(0,0) } { \sqrt( x^2 + y^2) }$ attuando la sostituzione $y=mx$ ci troviamo con
$lim_{(x,y)->(0,0)} \sqrt( \frac { |mx^2| } { x^2( 1 + m^2) } ) = \sqrt( |m|/(1+m^2) )$
Dunque tale limite non esiste, e la funzione non è differenziabile.
Successivamente ci viene spiegato il teorema del differenziale totale che ( evito di scrivere in formule perchè impiegherei troppo tempo ) se esistono le derivate parziali della funzione, e sono continue in quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.
Ora... la funzione di partenza non ammetteva derivate parziali continue? Quindi non dovrebbe essere differenziabile in $(0,0)$?
Risposte
"pater46":
Ora... la funzione di partenza non ammetteva derivate parziali continue? Quindi non dovrebbe essere differenziabile in $(0,0)$?
E' la radice di un valore assoluto... il valore assoluto ha nella derivata una discontinuità quando il v.a. si annulla.
che sciocco, non ci avevo pensato! Grazie per la dritta!
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