Teorema del differenziale totale

[supersimu]

Salve, ho un dubbio su un teorema, che il nostro professore di analisi ha citato come "Teorema del differenziale totale", che afferma:
- Sia $f(x,y)$ una funzione in due variabili. Se in un intorno $U$ di un punto $P$ in $R^2$ esistono, continue, le derivate parziali, allora $f$ è differenziabile in $P$.


Ora, mi ritrovo un esercizio che dice:

- Sia $f(x,y)=\{((xy)/(x^2 + y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$

In questo caso, si dimostra che $f(x,y)$ non è continua in (0,0), ma esistono entrambe le derivate parziali e sono continue, essendo identicamente nulle.
Tuttavia, l'esercizio si conclude dicendo che $f$ non è differenziabile in (0,0) poichè non continua in quel punto. E il teorema prima citato, che fine fa?

Grazie anticipatamente

[supersimu]

"Alexp":

Beh, in coordinate polari si ha che:

$x=rcos(\alpha)$ e $y=rsen(\alpha)$

quindi sostituendo ottieni

$lim_(r->0) (r^2*cos(\alpha)*sen(\alpha))/r^3$

Comunque sia il risultato non cambia, inquanto è facile notare che se $cos(\alpha)$ oppure $sen(\alpha)$ valgono $0$, allora il limite si annulla, altrimenti tende ad $infty$, peciò la formula non è verificata....si conclude che la funzione non è differenziabile.

Certo, mi son fatto prendere un po' la mano con gli esponenti...
Grazie dell'"assistenza"...