Teorema del differenziale

[*brssfn76]

Mi è venuto un dubbio sul teorema del differenziale.

Stavo analizzando questa funzione :

$f(xy):={(x+1/2x^2y,if y>=0),((e^(xy)-1)/y,if y<0):}$

Volendo usare il teorema del differenziale se dimostro che le derivate parziali sono continue allora f è differenziabile (in $(x_0,0)$ si intende).
Ma se non lo sono f può essere ancora differenziabile? nel senso che applicando la definizione di differenziabilità trovo che in effetti lo è.
Credo infine che sia così ma chiedo una conferma giusto per togliermi ogni dubbio

Grazie

[Fioravante Patrone1]

"brssfn76":
Ma se non lo sono f può essere ancora differenziabile?

Certo.
D'altronde basta prendere un esempio di funzione di una variabile, derivabile senza avere derivata prima [correggo: avevo scritto "parziale"] continua, e poi far finta che sia una funzione di due variabili.

[size=75]Nota terminologica. Io sono abituato a chiamare "teorema del differenziale" un altro teorema. Quello che afferma che, se una funzione è differenziabile, allora è continua, derivabile lungo ogni direzione e le sue derivate direzionali si trovano facendo il prodotto scalare tra il gradiente e il versore della direzione.[/size]

[*brssfn76]

Grazie

Per il teo del diff. l'ho pescato dallo Sbordone-Marcellini-Fusco pag 140. Lo chiama proprio così mentre sul Giusti Esercizi lo chiama teorema del differenziale totale a pag 118...... ad ogni modo basta mettersi d'accordo.

[*brssfn76]

Sempre riferito alla funzione mi chiedo se f è differenziabile in (x,0)?

Allora sulla restrizione $y>=0$ le derivate sono continue quindi f e differenziabile mentre la restrizione [y<=0] mi fa tribolare ovviamente il limite.....
nel senso che se applico la def. di differenziabilità ottengo:

$lim_(h->0,k->0)((e^((x+h)k)-1)/k - x - h - 1/2kx^2)/(sqrt(h^2+k^2))$

Vediamo :

f(x+h,0+k) è l'espressione della f nella restrizione y<0 ed è il blocco dell'esponenziale. Poi -x sarebbe -f(x,0) calcolata la dove la f è definita per y=0 ed infine il gradiente anch'esso calcolato dove è definita la f vale -h -1/2....

Se non ho impostato male la costruzione del limite (il libro mi dice che f è diff in ogni punto!) allora sbaglio qualcosa nel calcolo del limite (maguarda un po' )

se i versori tendono a 0 posso semplificare l'esponenziale come un limite notevole ovvero moltiplico sopra e sotto la frazione dell'esponenziale per (x+h) e il blocchetto mi dovrebbe tendere a....(x+h) se non ho sbagliato .....
dovrebbe rimanere:

$lim_(h->0,k->0)(-1/2kx^2/sqrt(h^2+k^2))$ mumble mumble sarà giusto?

se questa semplificazione è corretta il resto del limite dovrebbe essere semplice cosa ne dite?

grazie