Teorema del confronto.

[galles90]

Buongiorno,

Siano X un sottoinsieme non vuoto di \(\displaystyle \mathbb{R}, x_0 \in \mathbb{R} \) un punto di accumulazione per X ed \(\displaystyle f:X\to \mathbb{R} \) e \(\displaystyle g:X\to\mathbb{R} \) funzioni reali verificanti le seguenti condizioni :
1) La funzione \(\displaystyle f \) è limitata in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) cioè esistono \(\displaystyle M\in\mathbb{R} \) ed un intorno \(\displaystyle J_0 \) di \(\displaystyle x_0 \) tali che per ogni \(\displaystyle x\in X\cap J_0 \), si ha \(\displaystyle |f(x)|\le M \).
2) Esiste il limite di \(\displaystyle lim_{x\to x_0}g(x)=0 \)
Allora esiste anche il limite di \(\displaystyle f\cdot g \) in \(\displaystyle x_0 \) e si ha \(\displaystyle lim_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=0 \)

Dimostrazione.

Si fissi \(\displaystyle \epsilon>0 \) dall'ipotesi 2) e scelto un \(\displaystyle \tfrac{\epsilon}{M+1} \) anzichè \(\displaystyle \epsilon \), ne segue l'esistenza di un intorno \(\displaystyle J_1 \) di \(\displaystyle x_0 \) tale che, per ogni \(\displaystyle x\in X \cap J_1\ {x_0} \) si ha \(\displaystyle |g(x)|<\tfrac{\epsilon}{M+1} \). Considerando l'intorno \(\displaystyle J=J_0\cap J_1 \) di \(\displaystyle x_0 \), e dall'ipotesi 1) si ha:

\(\displaystyle -\epsilon<-M\tfrac{\epsilon}{M+1}<-M|g(x)|\le f(x)g(x) \le M|g(x)|
Fine.

Il mio dubbio è sulla scelta del valore \(\displaystyle \epsilon \) per \(\displaystyle g \), cioè perchè prendere quell'intorno ?

La mia supposizione che non so se è correta o sbagliata:
Detta alla buona !! ; Sceglie quell'intorno per rassicurarsi che le due funzioni \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) siano vicine, per cui il loro prodotto tenda zero, quindi a maggior ragione deve capitare anche per un intorno \(\displaystyle \epsilon \) più grande.


Ciao

[Studente Anonimo]

Per definizione:

$[EE M gt 0 ^^ EE J(x_0):x in J(x_0) nn X rarr |f(x)| lt M]$

$[lim_(x->x_0)g(x)=0] harr [AA \epsilon gt 0 EE I_\epsilon(x_0):x in I_\epsilon(x_0) nn X rarr |g(x)| lt \epsilon]$

Quindi:

$[x in J(x_0) nn I_\epsilon(x_0) nn X] rarr [|f(x)g(x)|=|f(x)|*|g(x)| lt M\epsilon] rarr [lim_(x->x_0)f(x)g(x)=0]$

poiché, essendo $M gt 0$ fissato una volta per tutte e $\epsilon gt 0$ piccolo a piacere, anche $M\epsilon gt 0$ è piccolo a piacere. Insomma, nella definizione di limite:

$[lim_(x->x_0)f(x)=l] harr [AA \epsilon gt 0 EE I_\epsilon(x_0):x in I_\epsilon(x_0) nn X rarr |f(x)-l| lt \epsilon]$

ciò che importa è che il secondo membro di:

$|f(x)-l| lt \epsilon$

possa essere reso piccolo a piacere:

$|f(x)-l| lt \epsilon vv |f(x)-l| lt \epsilon/2 vv |f(x)-l| lt 3\epsilon$ ... $vv |f(x)-l| lt M\epsilon$

con $M gt 0$ fissato una volta per tutte e $\epsilon gt 0$ piccolo a piacere.

[galles90]

Ciao Sergeant Elias,
mi quasi tutto chiaro
quando dici :

"anonymous_0b37e9": fissato una volta per tutte e $ \epsilon gt 0 $ piccolo a piacere, anche $ M\epsilon gt 0$ .

vorresti dire che in base alla scelta diversa di $ epsilon$ si può anche non verificare questa proposizione ?

[Studente Anonimo]

Non di rado, per dimostrare la tesi del teorema in esame:

$lim_(x->x_0)f(x)g(x)=0$

l'autore cerca di scrivere la seguente implicazione:

$x in J(x_0) nn I_\epsilon(x_0) nn X rarr |f(x)g(x)| lt \epsilon$

Volendo adottare questo approccio, avrei dovuto scrivere:

Per definizione: $EE M gt 0 ^^ EE J(x_0):x in J(x_0) nn X rarr |f(x)| lt M$

Per definizione: $AA \epsilon gt 0 EE I_\epsilon(x_0):x in I_\epsilon(x_0) nn X rarr |g(x)| lt \epsilon/M$

Quindi: $x in J(x_0) nn I_\epsilon(x_0) nn X rarr |f(x)g(x)|=|f(x)|*|g(x)| lt M*\epsilon/M=\epsilon rarr |f(x)g(x)| lt \epsilon$

Questo perché uno studente abituato alla seguente definizione di limite:

$lim_(x->x_0)f(x)g(x)=0 harr AA \epsilon gt 0 EE I_\epsilon(x_0):x in I_\epsilon(x_0) nn X rarr |f(x)g(x)| lt \epsilon$

può pensare di dover per forza arrivare alla seguente condizione:

$|f(x)g(x)| lt \epsilon$

piuttosto che a queste altre:

$|f(x)g(x)| lt \epsilon/2$

$|f(x)g(x)| lt 3\epsilon$

$...$

$|f(x)g(x)| lt M\epsilon$

del tutto equivalenti alla prima. Infatti, per quanto riguarda:

$|f(x)g(x)| lt M\epsilon$

essendo $M gt 0$ fissato una volta per tutte e $\epsilon gt 0$ piccolo a piacere, ciò che importa è che anche $M\epsilon gt 0$ possa essere piccolo a piacere. Insomma, una volta che si fissa $M gt 0$, è sempre possibile determinare $\epsilon gt 0$ tale che $M\epsilon gt 0$ sia piccolo a piacere.

"galles90":
... vorresti dire che in base alla scelta diversa di $\epsilon$ si può anche non verificare questa proposizione?

Anche se non ho compreso pienamente che cosa stai intendendo, non mi pare fosse quella la mia intenzione. Spero di essere stato più chiaro con questa integrazione. In questo caso, puoi renderti conto di come la dimostrazione che hai riportato nel messaggio di apertura sia eccessivamente involuta.

[galles90]

Sei stato chiarissimo, ho notato anch'io che l'autore cerca quasi sempre di riportarsi alla definizione "standard" di limite, ma di questo non ne ero molto convito !!
Allora giusto per ricapitolare,
la scelta dell'intorno \(\displaystyle |g(x)|<\tfrac{\epsilon}{M} \) è solo una conseguenza per riportarsi alla definizione "standard", e non per altre conseguenze ?

Il punto più importante:
si fissa prima il valore \(\displaystyle M \) e poi in base a questo valore si fissa il valore \(\displaystyle \epsilon \), cosi facendo si ha la tesi ?

[Studente Anonimo]

"galles90":
... la scelta dell'intorno è solo una conseguenza per riportarsi alla definizione standard ...

"galles90":
... si fissa prima il valore di $M$ ...

Una volta per tutte, la funzione è limitata. Voglio dire, $M+1$ va bene quanto $M$.

"galles90":
... e poi in base a questo valore si fissa il valore di $\epsilon$ ...

Però $\epsilon$ non è fissato una volta per tutte. Il suo valore dipende da quanto vuoi piccolo $M\epsilon$. Ma penso che ci siamo capiti.

[galles90]

si si ci siamo capiti, sei stato chiarissimo