Teorema dei Valori Intermedi
Ciao ragazzi , mi sono imbattuto nel Teorema dei Valori Intermedi :
Se:
1)A è connesso
2)f è continua
Tesi
Se f assume due valori, allora f assume anche tutti i valori intermedi.
La mia domanda è:Questa proprietà vale anche per qualche funzione non continua?
Se:
1)A è connesso
2)f è continua
Tesi
Se f assume due valori, allora f assume anche tutti i valori intermedi.
La mia domanda è:Questa proprietà vale anche per qualche funzione non continua?
Risposte
Cosa hai provato a fare? Ti sembra vero? Se sì, hai provato a costruire qualche esempio?
Hai provato a fare qualche figura per vedere se, almeno intuitivamente, è vero?
Hai provato a fare qualche figura per vedere se, almeno intuitivamente, è vero?
Mi tocca citarmi...
Esatto era questo che intendevo , volevo averne la conferma, grazie .[/quote]
Permettimi un'osservazione metodologica, sperando che non cada nel vuoto come i restanti due post.
Le conferme o le smentite fatte da altri non servono a nulla, se poi non sai analizzare da te una situazione o creare con le tue manine un controesempio minimo... Non è studio il ricevere conferme da altri, ma lo è riuscire a trovarle da sé.[/quote]
"gugo82":
[quote="Biagio2580"][quote="otta96"]
Se invece intendevi "esistono delle funzioni NON continue che soddisfano la tesi del teorema?" la risposta è si, alcune la soddisfano, altre no, un teorema non ti da informazioni su cosa succede nei casi in cui l'ipotesi non è verificata.
Esatto era questo che intendevo , volevo averne la conferma, grazie .[/quote]
Permettimi un'osservazione metodologica, sperando che non cada nel vuoto come i restanti due post.
Le conferme o le smentite fatte da altri non servono a nulla, se poi non sai analizzare da te una situazione o creare con le tue manine un controesempio minimo... Non è studio il ricevere conferme da altri, ma lo è riuscire a trovarle da sé.[/quote]
"gugo82":
Le conferme o le smentite fatte da altri non servono a nulla, se poi non sai analizzare da te una situazione o creare con le tue manine un controesempio minimo... Non è studio il ricevere conferme da altri, ma lo è riuscire a trovarle da sé.
Il controesempio già ce l'ho negli appunti e lo sto studiando,volevo solamente un chiarimento sul significato dell'osservazione che viene chiesta dal mio professore che non stavo capendo...Non è che mi fermo sulle conferme che mi vengono date da altri .
"Mephlip":
Cosa hai provato a fare? Ti sembra vero? Se sì, hai provato a costruire qualche esempio?
Hai provato a fare qualche figura per vedere se, almeno intuitivamente, è vero?
Si, a parere mio non credo che il teorema valga con delle funzioni non continue , mentre è evidente con il grafico che vale per quelle continue . Cercavo una conferma su quelle discontinue e una spiegazione.
"Biagio2580":
[quote="Mephlip"]Cosa hai provato a fare? Ti sembra vero? Se sì, hai provato a costruire qualche esempio?
Hai provato a fare qualche figura per vedere se, almeno intuitivamente, è vero?
Si, a parere mio non credo che il teorema valga con delle funzioni non continue , mentre è evidente con il grafico che vale per quelle continue . Cercavo una conferma su quelle discontinue e una spiegazione.[/quote]
Cosa vuoi mostrare?
Hai provato a costruirti un esempio?
"Biagio2580":
La mia domanda è:Questa proprietà vale anche per qualche funzione non continua?
Sì. Se $f:]a,b[\to \mathbb{R}$ è derivabile allora $f':]a,b[\to \mathbb{R}$ verifica il teorema dei valori intermedi anche se non è detto che $f'$ sia continua.
Che poi possiamo fare un controesempio concreto (senza pensare a quello che ho scritto nell'altro post).
Prendi $f(x):=\sin(1/x)$ se $\ne0$ e $f(0):=0$.
Puoi verificare che $f$ verifica il teorema dei valori intermedi, pur non essendo continua in zero.
Prendi $f(x):=\sin(1/x)$ se $\ne0$ e $f(0):=0$.
Puoi verificare che $f$ verifica il teorema dei valori intermedi, pur non essendo continua in zero.
@Biagio2580: Quello che ti ha proposto VG è un esempio classico basato sul teorema di Darboux (così si chiama il risultato che citava due post più sopra).
Tuttavia, si possono costruire esempi di funzioni discontinue che godono della proprietà dei valori intermedi anche senza conoscere tale risultato... Basta giochicchiare con funzioni elementarissime, tipo quelle lineari. Ad esempio, potresti mostrare che la $f: ]-1,1[ -> ]-1,1[$ che ha l'andamento grafico in figura qui sotto (con la solita convenzione che il pallino significa che il punto evidenziato appartiene al grafico) ha la proprietà richiesta.
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,0],[0,-1]); line([0,1],[1,0]);
dot([0,0]);[/asvg]
Tuttavia, si possono costruire esempi di funzioni discontinue che godono della proprietà dei valori intermedi anche senza conoscere tale risultato... Basta giochicchiare con funzioni elementarissime, tipo quelle lineari. Ad esempio, potresti mostrare che la $f: ]-1,1[ -> ]-1,1[$ che ha l'andamento grafico in figura qui sotto (con la solita convenzione che il pallino significa che il punto evidenziato appartiene al grafico) ha la proprietà richiesta.
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,0],[0,-1]); line([0,1],[1,0]);
dot([0,0]);[/asvg]
Ottimo esempio gugo.
Prima le cose semplici!
Prima le cose semplici!
"ViciousGoblin":
Ottimo esempio gugo.
Grazie.
"ViciousGoblin":
Prima le cose semplici!
L'idea sarebbe quella di smontare un po' la convinzione che siano cose troppo "difficili" per farle da sé.
Sì gugo proprio azzeccato
[ot]In una recente conversazione mi si faceva notare che spesso gli studenti escono dalle scuole superiori convinti che i grafici delle funzioni siano sempre “carini", tipo morbide curve invece di insiemi di punti alle volte MAI continui.
Come esempio
$f(x) = - pi if x in RR - QQ$
$f(x) =+5/9 if x in QQ$
Siete d accordo?[/ot]
[ot]In una recente conversazione mi si faceva notare che spesso gli studenti escono dalle scuole superiori convinti che i grafici delle funzioni siano sempre “carini", tipo morbide curve invece di insiemi di punti alle volte MAI continui.
Come esempio
$f(x) = - pi if x in RR - QQ$
$f(x) =+5/9 if x in QQ$
Siete d accordo?[/ot]
"gugo82":
@Biagio2580: Quello che ti ha proposto VG è un esempio classico basato sul teorema di Darboux (così si chiama il risultato che citava due post più sopra).
Tuttavia, si possono costruire esempi di funzioni discontinue che godono della proprietà dei valori intermedi anche senza conoscere tale risultato... Basta giochicchiare con funzioni elementarissime, tipo quelle lineari. Ad esempio, potresti mostrare che la $f: ]-1,1[ -> ]-1,1[$ che ha l'andamento grafico in figura qui sotto (con la solita convenzione che il pallino significa che il punto evidenziato appartiene al grafico) ha la proprietà richiesta.
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,0],[0,-1]); line([0,1],[1,0]);
dot([0,0]);[/asvg]
Effettivamente è un'ottimo esempio , quindi la funzione assumerà tutti i valori tra ]-1,1[ dell'asse y , giusto?
"Biagio2580":
Effettivamente è un'ottimo esempio
Prego... Mi raccomando piano con i ringraziamenti.
"Biagio2580":
quindi la funzione assumerà tutti i valori tra ]-1,1[ dell'asse y , giusto?
"Assumerà" quando? La settimana prossima?
Ma per l'assunzione si deve fare un colloquio? O si valutano solo i titoli?
@ gio73: [ot]
Sì.
Ciò è dovuto, in parte, al fatto che si passa (almeno) l'ultimo anno a disegnare grafici con le tecniche standard del Calcolo Differenziale; in parte, al fatto che gli autori di alcuni testi (vedi argomento bloccato recentemente in Secondaria II grado) non si fanno problemi a spacciare un diagramma di una funzione di variabile continua (ad esempio, reale) come diagramma di una funzione di una variabile discreta (ad esempio, naturale), quindi figurati quanta attenzione mettono a cose più fini; in parte, al fatto che c'è poco tempo per essere precisi su cose che vengono considerate "secondarie" rispetto all'esame di stato, ma che sono importanti per la cultura matematica di base (soprattutto in uscita dai licei scientifici, tradizionali o applicati).[/ot]
"gio73":
Sì gugo proprio azzeccato
In una recente conversazione mi si faceva notare che spesso gli studenti escono dalle scuole superiori convinti che i grafici delle funzioni siano sempre “carini", tipo morbide curve invece di insiemi di punti alle volte MAI continui.
Come esempio
$f(x) = - pi if x in RR - QQ$
$f(x) =+5/9 if x in QQ$
Siete d accordo?
Sì.
Ciò è dovuto, in parte, al fatto che si passa (almeno) l'ultimo anno a disegnare grafici con le tecniche standard del Calcolo Differenziale; in parte, al fatto che gli autori di alcuni testi (vedi argomento bloccato recentemente in Secondaria II grado) non si fanno problemi a spacciare un diagramma di una funzione di variabile continua (ad esempio, reale) come diagramma di una funzione di una variabile discreta (ad esempio, naturale), quindi figurati quanta attenzione mettono a cose più fini; in parte, al fatto che c'è poco tempo per essere precisi su cose che vengono considerate "secondarie" rispetto all'esame di stato, ma che sono importanti per la cultura matematica di base (soprattutto in uscita dai licei scientifici, tradizionali o applicati).[/ot]
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