Teorema dei residui
Vi propongo il Teorema dei residui (e relativa dimostrazione) così come mi è stato presentato nell'ambito della parte di analisi complessa del corso di Istituzioni di Analisi Superiore 1 (III anno, UNIBA).
Segnalo con asterischi i passaggi che mi risultano oscuri.
Spero vogliate darmi qualche suggerimento.
Teorema dei residui
$Omega sub CC$ aperto semplicemente connesso;
$S={z_1, z_2, ..., z_n} sub Omega$;
$f in H(Omega - S)$;
$gamma$ circuito in $Omega - S$.
Allora
$\int_{gamma} f(z) dz=2 pi i sum_{j=1}^n Res(f, z_j) Ind_{gamma}(z_j)$
dim.
$j in {1, 2, ..., n}$; $z_j$ è una singolarità isolata per $f$;
$z in Omega - S$;
$f(z)=f_{j, \text{reg}} + f_{j, \text{sing}} = sum_{n=0}^{+infty} c_n (z-z_j)^n + sum_{n=1}^{+infty} c_{-n}/{(z-z_j)^n}$ (sviluppo in serie di Laurent);
$f_{j, \text{sing}} = sum_{n=1}^{+infty} c_{-n}/{(z-z_j)^n}$ converge $AA z!=z_j$;
$f-f_{j, \text{sing}} in H((Omega-S) uu {z_j})$ $AA j$
(*) $rArr g -= f - f_{1, \text{sing}} - f_{2, \text{sing}} - ... - f_{n, \text{sing}} in H(Omega)$
$rArr \int_{gamma} g(z) dz=0$, essendo $Omega$ aperto semplicemente connesso
$rArr \int_{gamma} f = \int_{gamma} f_{1, \text{sing}} + ... + \int_{gamma} f_{n, \text{sing}}$.
$\int_{gamma} f_{1, \text{sing}}(z) dz = \int_{gamma} sum_{k=1}^{+infty} c_{-k}/{(z-z_1)^k} dz=$ (convergenza uniforme sui compatti) $=sum_{k=1}^{+infty} c_{-k} \int_{gamma} 1/{(z-z_1)^k} dz=$ (**) $c_{-1} \int_{gamma} 1/{z-z_1} dz = Res(f, z_1) 2 pi i Ind_{gamma}(z_1)$; analogamente per $j=2, 3, ..., n$. ///
In particolare, per (*), è chiaro che
$f-f_{j, \text{sing}} in H((Omega-S) uu {z_j})$ $AA j$ $rArr (f - f_{1, \text{sing}}) + (f - f_{2, \text{sing}})+ (f - ... - f_{n, \text{sing}}) in H(Omega)$ $rArr nf - f_{1, \text{sing}} - f_{2, \text{sing}} - ... - f_{n, \text{sing}} in H(Omega)$
ma non mi pare sia di qualche utilità!
Attendo illuminazioni.
Grazie.
Segnalo con asterischi i passaggi che mi risultano oscuri.
Spero vogliate darmi qualche suggerimento.
Teorema dei residui
$Omega sub CC$ aperto semplicemente connesso;
$S={z_1, z_2, ..., z_n} sub Omega$;
$f in H(Omega - S)$;
$gamma$ circuito in $Omega - S$.
Allora
$\int_{gamma} f(z) dz=2 pi i sum_{j=1}^n Res(f, z_j) Ind_{gamma}(z_j)$
dim.
$j in {1, 2, ..., n}$; $z_j$ è una singolarità isolata per $f$;
$z in Omega - S$;
$f(z)=f_{j, \text{reg}} + f_{j, \text{sing}} = sum_{n=0}^{+infty} c_n (z-z_j)^n + sum_{n=1}^{+infty} c_{-n}/{(z-z_j)^n}$ (sviluppo in serie di Laurent);
$f_{j, \text{sing}} = sum_{n=1}^{+infty} c_{-n}/{(z-z_j)^n}$ converge $AA z!=z_j$;
$f-f_{j, \text{sing}} in H((Omega-S) uu {z_j})$ $AA j$
(*) $rArr g -= f - f_{1, \text{sing}} - f_{2, \text{sing}} - ... - f_{n, \text{sing}} in H(Omega)$
$rArr \int_{gamma} g(z) dz=0$, essendo $Omega$ aperto semplicemente connesso
$rArr \int_{gamma} f = \int_{gamma} f_{1, \text{sing}} + ... + \int_{gamma} f_{n, \text{sing}}$.
$\int_{gamma} f_{1, \text{sing}}(z) dz = \int_{gamma} sum_{k=1}^{+infty} c_{-k}/{(z-z_1)^k} dz=$ (convergenza uniforme sui compatti) $=sum_{k=1}^{+infty} c_{-k} \int_{gamma} 1/{(z-z_1)^k} dz=$ (**) $c_{-1} \int_{gamma} 1/{z-z_1} dz = Res(f, z_1) 2 pi i Ind_{gamma}(z_1)$; analogamente per $j=2, 3, ..., n$. ///
In particolare, per (*), è chiaro che
$f-f_{j, \text{sing}} in H((Omega-S) uu {z_j})$ $AA j$ $rArr (f - f_{1, \text{sing}}) + (f - f_{2, \text{sing}})+ (f - ... - f_{n, \text{sing}}) in H(Omega)$ $rArr nf - f_{1, \text{sing}} - f_{2, \text{sing}} - ... - f_{n, \text{sing}} in H(Omega)$
ma non mi pare sia di qualche utilità!
Attendo illuminazioni.
Grazie.
Risposte
Curioso: giusti giusti tre anni fa chiedevo la stessa cosa, per via dello stesso corso! Vedi un po' se questa discussione ti è utile...
teorema-dei-residui-un-errore-nella-dimostrazione-t37638.html
Grazie dissonance, come sempre mi sei stato di grande aiuto!
Chiedo scusa per non essere stato un "bravo utente", ma, pur avendo fatto un breve search, non avevo trovato la discussione che mi hai segnalato.
È confortante constatare che anche a uno in gamba come te sia capitato di avere perplessità non troppo dissimili dalle mie.
O.T. (solo per Baresi): avrei preferito di gran lunga corsi di analisi reale e complessa distinti anziché questo grande calderone!
Chiedo scusa per non essere stato un "bravo utente", ma, pur avendo fatto un breve search, non avevo trovato la discussione che mi hai segnalato.
È confortante constatare che anche a uno in gamba come te sia capitato di avere perplessità non troppo dissimili dalle mie.
O.T. (solo per Baresi): avrei preferito di gran lunga corsi di analisi reale e complessa distinti anziché questo grande calderone!
Beh no, il corso di analisi complessa di D'Ambrosio è buono, guarda. Si, ha poche ore, ce ne vorrebbe qualcuna in più; però lui è bravissimo e in quelle poche ore ti trasmette tutti i concetti fondamentali. Di questo me ne sono accorto sia qui sul forum sia l'estate scorsa, quando sono andato alla scuola SMI e ho avuto modo di confrontarmi con studenti di altre università: bene o male, l'analisi complessa che sappiamo noi è paragonabile a quella che sanno gli altri.
L'unico problema è che, terminato il corso, l'analisi complessa ha un ruolo marginale nei corsi successivi. E quindi rischi di scordartela. Ma di questo non occorre preoccuparsi ora!
L'unico problema è che, terminato il corso, l'analisi complessa ha un ruolo marginale nei corsi successivi. E quindi rischi di scordartela. Ma di questo non occorre preoccuparsi ora!
Salve,
Vorrei riportare su questa discussione perché, approdando anche io a questa stessa dimostrazione, ho avuto lo stesso intoppo dell'utente haterofman, che sarebbe quello relativo ai due asterischi (**).
La discussione precedente riportata dall'utente dissonance non mi è d'aiuto, perché risolve solamente il primo asterisco (*), per il quale non avevo problemi.
L'unico mio problema è il non riuscire a capire come mai la sommatoria in (**) si riduce a un solo membro, dovrebbe essere una cosa evidente, ma non ci arrivo...
Qualcuno mi può essere d'aiuto? Mi rivolgo anche allo stesso utente dissonance.
Grazie.
Vorrei riportare su questa discussione perché, approdando anche io a questa stessa dimostrazione, ho avuto lo stesso intoppo dell'utente haterofman, che sarebbe quello relativo ai due asterischi (**).
La discussione precedente riportata dall'utente dissonance non mi è d'aiuto, perché risolve solamente il primo asterisco (*), per il quale non avevo problemi.
L'unico mio problema è il non riuscire a capire come mai la sommatoria in (**) si riduce a un solo membro, dovrebbe essere una cosa evidente, ma non ci arrivo...
Qualcuno mi può essere d'aiuto? Mi rivolgo anche allo stesso utente dissonance.
Grazie.
Per k diverso da 1 l'integranda ammette primitiva.
Giusto!
E con la semplice connessione, quindi connessione, di $Omega$ ottengo che l'integrale lungo il circuito è nullo.
Grazie
E con la semplice connessione, quindi connessione, di $Omega$ ottengo che l'integrale lungo il circuito è nullo.
Grazie
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