Teorema dei Residui

[baldo891]

Supponiamo di dover calcolare un integrale in campo complesso e supponiamo che un polo si trovi sul cammino di integrazione, vorrei sapere se posso applicare in qualche caso il teorema dei residui? So benissimo che quando ho un polo sul cammino spesso si circonda questo con un piccolo cerchio per poi utilizzare i noti lemmi. Tuttavia mi è sembrato di capire che quando mi trovo con una singolarità eliminabile posso applicare il teorema dei residui anche se il polo è sul cammino di integrazione. dico bene?

[baldo891]

nessuno mi sa dire qualcosa?è una domanda di teoria!

[Ska1]

Se il cammino di integrazione passa su un punto che è singolarità eliminabile per la funzione non ci sono problemi. Se è un polo invece non va bene poichè in quel punto $\lim_{z->z_0} |f(z)| = \infty$.

[baldo891]

come immaginavo. infatti nel libro per esempio l'integrale definito di $sin(x)/x$ viene risolto con i suddetti lemmi, tuttavia mi sono accorto che il risultato finale veniva anche se utilizzavo il teorema dei residui. grazie

[Ska1]

Se vuoi calcolare [tex]$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{sin(x)}{x} dx$[/tex] con l'analisi complessa di solito si studia [tex]$\oint_C \frac{e^{iz}}{z} dz$[/tex], con [tex]$C$[/tex]cammino chiuso che aggira il polo in [tex]$z=0$[/tex]. Non puoi passare sopra [tex]$z=0$[/tex] appunto perchè per la funzione [tex]$\frac{e^{iz}}{z}$[/tex] è appunto un polo!

[baldo891]

più che giusto