Teorema dei residui
Mi è chiaro il teorema dei residui per quanto riguarda il calcolo,quello che mi è meno chiaro è l'uso dei poli.
Ad esempio in $f(z)=1/((z-4)(z-2)(z-3)^2)$ vi sono tre poli,due di ordine 1 "4 e 2" e uno di ordine 2 "3".
Essi giaciono tutti sulla parte positiva reale e sembrano 3 poli semplici(sono discontinuità eliminabili??).
Se voglio calcolare l'integrale nella parte di grafico $y>=0$ devo prenderli tutti e tre??
Nel caso di $f(z)=1/(z^2+1)$ vi sono due poli $+i$ e $-i$ in questo caso se li prendo tutti e due l'integrale si annulla.
Quello che non mi è chiaro è il criterio di scelta dei poli.
Ciao.
Ad esempio in $f(z)=1/((z-4)(z-2)(z-3)^2)$ vi sono tre poli,due di ordine 1 "4 e 2" e uno di ordine 2 "3".
Essi giaciono tutti sulla parte positiva reale e sembrano 3 poli semplici(sono discontinuità eliminabili??).
Se voglio calcolare l'integrale nella parte di grafico $y>=0$ devo prenderli tutti e tre??
Nel caso di $f(z)=1/(z^2+1)$ vi sono due poli $+i$ e $-i$ in questo caso se li prendo tutti e due l'integrale si annulla.
Quello che non mi è chiaro è il criterio di scelta dei poli.
Ciao.
Risposte
Mi pare tu abbia bisogno di una revisione della teoria.
Qui ti auto-contraddici due volte.
Se $3$ è un polo di ordine 2, com'è possibile che dopo diventi un polo semplice?
E se hai appurato che $2,3,4$ sono poli, perché ti chiedi se sono discontinuità eliminabili? Consiglio: rivedere la classificazione delle singolarità.
Gli integrali rispetto alla variabile complessa si fanno lungo i cammini (o curve che dir si voglia). In particolare, è sui cammini chiusi (o circuiti) che hai il teorema dei residui, quello che vuoi applicare. Quindi inizia con il chiederti: su quale circuito devo calcolare l'integrale?
"Insubrico":
Ad esempio in $f(z)=1/((z-4)(z-2)(z-3)^2)$ vi sono tre poli,due di ordine 1 "4 e 2" e uno di ordine 2 "3".
Essi giaciono tutti sulla parte positiva reale e sembrano 3 poli semplici(sono discontinuità eliminabili??).
Qui ti auto-contraddici due volte.
Se $3$ è un polo di ordine 2, com'è possibile che dopo diventi un polo semplice?
E se hai appurato che $2,3,4$ sono poli, perché ti chiedi se sono discontinuità eliminabili? Consiglio: rivedere la classificazione delle singolarità.
"Insubrico":
Se voglio calcolare l'integrale nella parte di grafico $y>=0$ devo prenderli tutti e tre??
Gli integrali rispetto alla variabile complessa si fanno lungo i cammini (o curve che dir si voglia). In particolare, è sui cammini chiusi (o circuiti) che hai il teorema dei residui, quello che vuoi applicare. Quindi inizia con il chiederti: su quale circuito devo calcolare l'integrale?
"dissonance":
Gli integrali rispetto alla variabile complessa si fanno lungo i cammini (o curve che dir si voglia).
Aggiungerei l'aggettivo "chiusi".
hai ragione gugo, ho rimaneggiato un po'. Dovrebbe andare meglio, adesso.
"dissonance":[/quote]
Mi pare tu abbia bisogno di una revisione della teoria.
[quote="Insubrico"]Ad esempio in $f(z)=1/((z-4)(z-2)(z-3)^2 DZ)$ vi sono tre poli,due di ordine 1 "4 e 2" e uno di ordine 2 "3".
Essi giaciono tutti sulla parte positiva reale e sembrano 3 poli semplici(sono discontinuità eliminabili??).
Qui ti auto-contraddici due volte.
Se $3$ è un polo di ordine 2, com'è possibile che dopo diventi un polo semplice?
E se hai appurato che $2,3,4$ sono poli, perché ti chiedi se sono discontinuità eliminabili? Consiglio: rivedere la classificazione delle singolarità.
Sia $gamma$ la curva : $[0,pi] in C, gamma(t) =3*e^(it)$.
Allora l'integrale
$int_ gamma 1/((z-4)(z-2)(z-3)^2) dz$
"dissonance":[/quote]
Mi pare tu abbia bisogno di una revisione della teoria.
[quote="Insubrico"]Ad esempio in $f(z)=1/((z-4)(z-2)(z-3)^2 DZ)$ vi sono tre poli,due di ordine 1 "4 e 2" e uno di ordine 2 "3".
Essi giaciono tutti sulla parte positiva reale e sembrano 3 poli semplici(sono discontinuità eliminabili??).
Qui ti auto-contraddici due volte.
Se $3$ è un polo di ordine 2, com'è possibile che dopo diventi un polo semplice?
E se hai appurato che $2,3,4$ sono poli, perché ti chiedi se sono discontinuità eliminabili?** Consiglio: rivedere la classificazione delle singolarità.
Rispondo a dissonance,
** perchè non possono essere sul cammino.
Sia $gamma$ la curva : $[0,pi] in C, gamma(t) =3*e^(it)$.
Allora l'integrale:
$int_ gamma 1/((z-4)(z-2)(z-3)^2) dz$
In questo caso i poli sono sul cammino,la regione interessata è $y>=0$. Il polo $4$ dovrebbe,in questo caso, essere fuori dal cammino.
Io come risultato finale ottengo: $pii$ possibile?? I poli sul cammino non creano problemi???
Ciao.
Non riesco a capire quale sia la curva di cui parli. O meglio, io capisco che si tratta di una semicirconferenza di centro l'origine e raggio 3. Quindi non un circuito (curva chiusa).
Il circuito è formato dalla curva $y$ che è un'arco che va da $-3$ a $+3$,passante per $3i$, di raggio 3,più l'asse reale da $-3$ a +$3$.
Ciao.
Ciao.
E allora si, ci sono dei poli sul circuito. Quindi non solo niente teorema dei residui, ma a mio avviso è tutto l'integrale a non avere senso. Infatti, così come $1/x$ non è integrabile intorno a $0$, così $1/(z-2)$ non è integrabile sul segmento reale $[-3, 3]$. C'è qualcosa che non va nel testo dell'esercizio, forse?
C'e' un teorema dei residui generalizzato (circolante tra gli ingegneri) che prevede anche poli sul circuito e che recita
(*) $\int_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\sum_{w "polo interno a "\gamma}"Res"(f,w)+\pi i \sum_{w "polo su "\gamma}"Res"(f,w)$
In sostanza i poli sulla curva $\gamma$ contano per meta' (giustamente
)
Prima che dissonance mi aggredisca
spiego cosa significa e quando vale la ( *) - preciso che i conti me li sono fatti da solo e l'enunciato che vi do non l' ho mai trovato da nessuna parte.
Prima di tutto l'integrale a sx va inteso nel senso del "valore principale" (e questo -devo dire- a volte viene detto quando si introduce la (*)). Il senso del valore principale significa che c'e' al piu' un numero finito di singolarita' $x_j$ su (il supporto di ) $\gamma$ e che l'integrale vicino a una singolarita' $x_j$ e' fatto escludendo un intorno simmetrico di raggio $\epsilon$ della singolarita' e facendo tendere $\epsilon$ a zero. I tutti i casi in cui si applica la (*) la singolarita' si trova su un tratto rettilineo della curva e quindi si ha a che fare con un integrale su un intervallo - allora per esempio $\int_{-1}^{1}1/x dk=\lim_{\epsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\epsilon}1/x dx +\int_{\epsilon}^1 1/x dx)=0$. Non ho mai trovato un integrale nel senso del valore principale su un pezzo di curva ma si puo' immaginare tranquillamante come definirlo (sara' necessario togliere due pezzi di curva di eguale lunghezza $\epsilon$ e fare il limite come detto sopra). Comunque nell'esempio proposto da Insubrico la singolarita' sta su un pezzo dritto.
Secondo fatto la (*) vale se tutte le singolarita' sulla curva sono poli semplici - questo non lo dice nessuno ma e' evidente che se non e' vero l'integrale a sx puo' non avere senso (e anche se l'avesse la formula potrebbe non valere).
Terzo fatto (un po' accademico dato che nelle applicazioni il problema non esce mai) - se si vuole che valga la (*) le singolarita' su gamma devono trovarsi in un punto in cui la curva e' derivabile (se la singolarita' stesse su uno spigolo non sarebbe piu' vero che conta per meta', dato che non e' piu' vero che la curva divide in due lo spazio - detto in modo grossolano).
Pero'', come ho detto prima, tutti i casi in cui ho visto applicare la (*) avevano le singolarita' su un pezzo rettillineo e quindi il terzo problema non si pone.
DIM . per esercizio
(*) $\int_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\sum_{w "polo interno a "\gamma}"Res"(f,w)+\pi i \sum_{w "polo su "\gamma}"Res"(f,w)$
In sostanza i poli sulla curva $\gamma$ contano per meta' (giustamente
)Prima che dissonance mi aggredisca
spiego cosa significa e quando vale la ( *) - preciso che i conti me li sono fatti da solo e l'enunciato che vi do non l' ho mai trovato da nessuna parte.Prima di tutto l'integrale a sx va inteso nel senso del "valore principale" (e questo -devo dire- a volte viene detto quando si introduce la (*)). Il senso del valore principale significa che c'e' al piu' un numero finito di singolarita' $x_j$ su (il supporto di ) $\gamma$ e che l'integrale vicino a una singolarita' $x_j$ e' fatto escludendo un intorno simmetrico di raggio $\epsilon$ della singolarita' e facendo tendere $\epsilon$ a zero. I tutti i casi in cui si applica la (*) la singolarita' si trova su un tratto rettilineo della curva e quindi si ha a che fare con un integrale su un intervallo - allora per esempio $\int_{-1}^{1}1/x dk=\lim_{\epsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\epsilon}1/x dx +\int_{\epsilon}^1 1/x dx)=0$. Non ho mai trovato un integrale nel senso del valore principale su un pezzo di curva ma si puo' immaginare tranquillamante come definirlo (sara' necessario togliere due pezzi di curva di eguale lunghezza $\epsilon$ e fare il limite come detto sopra). Comunque nell'esempio proposto da Insubrico la singolarita' sta su un pezzo dritto.
Secondo fatto la (*) vale se tutte le singolarita' sulla curva sono poli semplici - questo non lo dice nessuno ma e' evidente che se non e' vero l'integrale a sx puo' non avere senso (e anche se l'avesse la formula potrebbe non valere).
Terzo fatto (un po' accademico dato che nelle applicazioni il problema non esce mai) - se si vuole che valga la (*) le singolarita' su gamma devono trovarsi in un punto in cui la curva e' derivabile (se la singolarita' stesse su uno spigolo non sarebbe piu' vero che conta per meta', dato che non e' piu' vero che la curva divide in due lo spazio - detto in modo grossolano).
Pero'', come ho detto prima, tutti i casi in cui ho visto applicare la (*) avevano le singolarita' su un pezzo rettillineo e quindi il terzo problema non si pone.
DIM . per esercizio
"ViciousGoblin":
Prima che dissonance mi aggredisca
In sostanza, questo è quello che si fa quando si calcola (via teorema dei residui) $int_{-infty}^{infty}sinx/x"d"x$, se non mi sbaglio.
Uno considera un circuito che scansa i poli con una deviazione a semicerchio e fa tendere a 0 il raggio del semicerchio. Dato che i poli sono semplici, intorno ad ogni polo la funzione integranda è $"una funzione olomorfa" + "residuo"*1/z$, e da qui segue la tesi: si tratta di mostrare che l'integrale della parte olomorfa tende a 0; e quello della parte singolare tende a $pi* i* "residuo"$, ovvero come dicevi tu "conta per metà".
Dovrebbe essere questa l'idea...no?
"dissonance":
[quote="ViciousGoblin"]
Prima che dissonance mi aggredisca
In sostanza, questo è quello che si fa quando si calcola (via teorema dei residui) $int_{-infty}^{infty}sinx/x"d"x$, se non mi sbaglio.
Uno considera un circuito che scansa i poli con una deviazione a semicerchio e fa tendere a 0 il raggio del semicerchio. Dato che i poli sono semplici, intorno ad ogni polo la funzione integranda è $"una funzione olomorfa" + "residuo"*1/z$, e da qui segue la tesi: si tratta di mostrare che l'integrale della parte olomorfa tende a 0; e quello della parte singolare tende a $pi* i* "residuo"$, ovvero come dicevi tu "conta per metà".
Dovrebbe essere questa l'idea...no?[/quote]
Esatto. L'integrale che citi sopra e' il tipico esempio in cui si usa il teorema "generalizzato" di cui parlavo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo