Teorema dei residui

[Insubrico]

C'è un trucco per risolvere l'integrale:

sia$gamma in [0,2pi]$ $gamma(t)=exp(it)$

calcolare l'integrale:

$int_gamma log(2+z)/z^33dz$


Ciao

[Otherguy2k]

Non vorrei dire ca..e, ma forse conviene considerare i residui all'infinitoche ne dite?

[pat871]

Sapendo che $log(2 + z ) = log(2*(1 + z/2)) = log(2) + log(1 + z/2) = log(2) + ((z/2) - (z/2)^2/(2) + (z/2)^3/(3) - ...) $
al 32° termine della serie avremo che:
$-(z/2)^(32)/(32) = (-z^(32))/(32* 2^(32))$
Per cui il residuo è:
$Res_{z=0} \log(2 + z)/(z^(33)) = (-1)/(32* 2^(32)) = (-1)/(2^(37))$
Per cui:
$\oint_{|z| = 1} \log(2 + z)/(z^(33)) dz = 2\pi i *((-1)/(2^(37))) = (-i \pi)/(2^(36))$

[Cantaro86]

perchè non consideri gli altri termini??

[pat871]

Una funzione analitica f con un polo di ordine $n$ in 0 (come in questo caso) si sviluppa in serie di Laurent così:
$f(z) = (a_0)/(z^n) + (a_1)/(z^(n-1)) + ... + (a_(n-1))/(z) + a_n + a_(n+1)*z + a_(n+2)*z^2 + ...$
$a_(n-1)$ è il residuo di f.
In questo caso ho considerato soltanto lo sviluppo di taylor di log, e poi ho preso il 32°, sapendo che dividendo per $z^(33)$, avrei ottenuto l'unico termine del tipo $a_(n-1)/z$, che mi serviva per il teorema dei residui.

[Cantaro86]

a gia
scusate ma stavo pensando ad un altro metodo e quello sviluppo in serie mi aveva confuso

questo metodo qui (di pat87) mi sembra il migliore