Teorema dei Residui

[Giovanni58]

Qualcuno può spiegarmi nel modo più semplice possibile il Teorema dei Residui e come applicarlo agli integrali reali con un semplice esempio numerico.
Grazie

[Cantaro86]

se cerchi nel forum penso che ne puoi trovare mille di esempi numerici e di spiegazioni di come utilizzare il teorema dei residui...

la teoria è abbastanza lunga e un po complicata per poterla spiegare in poche parole...

diciamo che lo scopo è complessificare la funzione da integrare e integrarla lungo un percorso (di solito un semicerchio o comunque un percorso chiuso) per poi ricavare il valore dell'integrale lungo l'asse x.
supponendo che i vari teoremini li conosci gia ti faccio un esempio semplicissimo...(senza tagli,discontinuità e altre cose che aumentano i conti)

metodo classico:
$int_-infty^(+infty)1/(x^2+1)dx=[arctgx]_-infty^(+infty)=pi/2+pi/2=pi$

metodo con i residui:
problemi di convergenza non ce ne sono... scelgo come percorso il semicerchio superiore $gamma$
quindi $int_gamma1/((z+i)(z-i))dz=2ipisumRes$ ora calcoli il residuo in $+i$ cioè $Res=lim_(ztoi)1/(z+i)=-i/2$ e sai che l'integrale lungo la parte di curva che non contiene l'asse x (per vari teoremini) è nullo...
ottieni lo stesso risultato del metodo classico...
$int_-infty^(+infty)1/(x^2+1)dx=2pii*(-i/2)=pi$