Teorema dei residui
Ciao, utilizzando il teorema dei Residui devo dimostrare che:
$\int_\-infty^\infty x^(1/3) / (1+ x^2) dx = pi /(2*cos(pi/6))$
N.b. Puo essere utile integrare sul cammino a forma di "buco della serratura" costituito da
due circonferenze di raggi $ \epsilon$ e R, con $\epsilon $< R, unite da due segmenti, il primo essendo
il segmento $[\epsilon ; R]$ sull'asse reale, il secondo $[ \epsilon ; R]$ - $\delta *i $, con $ \ delta$ positivo e piccolo.
il Residuo mi viene $(pi*(i)^(1/3)) /(2i) $ però poi non riesco a capire come scrivere gli integrali per arrivare al risultato richiesto
$\int_\-infty^\infty x^(1/3) / (1+ x^2) dx = pi /(2*cos(pi/6))$
N.b. Puo essere utile integrare sul cammino a forma di "buco della serratura" costituito da
due circonferenze di raggi $ \epsilon$ e R, con $\epsilon $< R, unite da due segmenti, il primo essendo
il segmento $[\epsilon ; R]$ sull'asse reale, il secondo $[ \epsilon ; R]$ - $\delta *i $, con $ \ delta$ positivo e piccolo.
il Residuo mi viene $(pi*(i)^(1/3)) /(2i) $ però poi non riesco a capire come scrivere gli integrali per arrivare al risultato richiesto
Risposte
Innanzitutto, nota che l'integrale proposto è nullo, in quanto la funzione integranda è dispari.
Perciò credo tu voglia calcolare:
\[
\int_0^{+\infty} \frac{x^{1/3}}{1+x^2}\ \text{d} x\; .
\]
Il calcolo lo puoi fare sfruttando il risultato che ho dimostrato qui, ponendo $t=x^2$ per ricondurti all'integrale del mio post.
Perciò credo tu voglia calcolare:
\[
\int_0^{+\infty} \frac{x^{1/3}}{1+x^2}\ \text{d} x\; .
\]
Il calcolo lo puoi fare sfruttando il risultato che ho dimostrato qui, ponendo $t=x^2$ per ricondurti all'integrale del mio post.
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