Teorema dei carabinieri in due variabili

[lorinobili10]

Ciao a tutti,tante volte nel teorema dei carabinieri per i limiti a due variabili vedo spesso che mettono il valore assoluto alla funzione su cui poi applicare le condizioni del teorema. Mi sapreste dire il perchè e quando è consensito farlo?

[Mephlip]

Sempre, perché stanno usando il fatto che se $f(x,y)\in\mathbb{R}$ allora $f(x,y) \to l \iff |f(x,y)-l| \to 0$; suppongo che il contesto sia quello di una funzione $f:A\subseteq \mathbb{R}^2 \to B \subseteq \mathbb{R}$, quindi $f$ è un numero reale e perciò vale quanto ho scritto ad inizio risposta.
Il motivo di ciò è: comodità. I moduli sono non negativi, quindi hai gratis la stima $0 \leq |f(x,y)-l|$ e se quindi mostri che la quantità $|f(x,y)-l|$ è maggiorata da un'altra quantità tendente a $0$ hai che $f(x,y) \to l$ per il teorema dei due carabinieri.
Altrimenti dovresti fare due stime dall'alto e dal basso che tendono alla stessa cosa, che è più laborioso.
In particolare, se vuoi mostrare che il limite $l$ è $0$ basta mostrare $|f(x,y)| \leq \text{qualcosa che tende a 0}$.