Teorema degli zeri vers. 2.0
Ciao ragazzi,
ho pensato ad una formulazione alternativa del Teorema degli zeri (più che formulazione alternativa, una sorta di corollario), che però non mi pare di aver trovato da nessuna parte; quindi, come al solito, le possibilità sono due: o sto dicendo una stronzata bella e buona, oppure, formulato in questo modo, il teorema non serve a un tubo. Questa volta sarei più portato a prendere in considerazione la prima ipotesi, poichè, se ho ragione, il Teorema è utile eccome. Eccolo qui.
TEOREMA (degli zeri, vers. 2.0) Sia $f:(a,b)\to RR$ continua e tale che
\[\exists \lim_{x\to a^+}f(x)=h>0\wedge \exists\lim_{x\to b^-}f(x)=k<0 \]
Allora $\exists \xi\in(a,b)$ tale che $f(\xi)=0$.
Ovviamente, si possono prendere anche $h$ e $k$ con segni opposti a quelli considerati.
Sostanzialmente, la "dimostrazione" (queste virgolette mi spingerebbero a chiamarlo corollario più che teorema) a cui ho pensato fa uso del teorema della permanenza del segno per stabilire che $\exists \alpha,\beta\in (a,b)$ tali che $f(\alpha)\cdot f(\beta)<0$, ed applicare il Teorema degli zeri "vers. 1.0" all'intervallo $[\alpha,\beta]$.
Che ne dite?
Ho detto fandonie? 
ho pensato ad una formulazione alternativa del Teorema degli zeri (più che formulazione alternativa, una sorta di corollario), che però non mi pare di aver trovato da nessuna parte; quindi, come al solito, le possibilità sono due: o sto dicendo una stronzata bella e buona, oppure, formulato in questo modo, il teorema non serve a un tubo. Questa volta sarei più portato a prendere in considerazione la prima ipotesi, poichè, se ho ragione, il Teorema è utile eccome. Eccolo qui.
TEOREMA (degli zeri, vers. 2.0) Sia $f:(a,b)\to RR$ continua e tale che
\[\exists \lim_{x\to a^+}f(x)=h>0\wedge \exists\lim_{x\to b^-}f(x)=k<0 \]
Allora $\exists \xi\in(a,b)$ tale che $f(\xi)=0$.
Ovviamente, si possono prendere anche $h$ e $k$ con segni opposti a quelli considerati.
Sostanzialmente, la "dimostrazione" (queste virgolette mi spingerebbero a chiamarlo corollario più che teorema) a cui ho pensato fa uso del teorema della permanenza del segno per stabilire che $\exists \alpha,\beta\in (a,b)$ tali che $f(\alpha)\cdot f(\beta)<0$, ed applicare il Teorema degli zeri "vers. 1.0" all'intervallo $[\alpha,\beta]$.
Che ne dite?
Ho detto fandonie?
Risposte
"Plepp":
TEOREMA (degli zeri, vers. 2.0) Sia $f:(a,b)\to RR$ continua e tale che
\[\exists \lim_{x\to a_+}f(x)=h>0\wedge \exists\lim_{x\to b_-}f(x)=k<0 \]
Allora $\exists \xi\in(a,b)$ tale che $f(\xi)=0$.
Ma se la funzione ha limite finito in $a$ e in $b$, non puoi definire la funzione per continuità in quei punti e quindi ricadere nel teorema di Bolzano? Penso di sì!
E certo 
è la stessa cosa*...anzichè Bolzano, nella dimostrazione, ho utilizzato il Teorema degli zeri "ordinario". Anche se devo ammettere che forse la tua soluzione sarebbe stata più elegante 
___________________________________
*I due teoremi sono equivalenti. Tant'è che ricordo che la mia Prof. di Analisi I ci scrisse questo alla lavagna:
\[\text{Teorema di Bolzano}\iff\text{Teorema degli zeri}\]
EDIT: addirittura, digitando "Teorema degli zeri" su Google, il primo link che compare è "Teorema di Bolzano - Wikipedia"
è la stessa cosa*...anzichè Bolzano, nella dimostrazione, ho utilizzato il Teorema degli zeri "ordinario". Anche se devo ammettere che forse la tua soluzione sarebbe stata più elegante ___________________________________
*I due teoremi sono equivalenti. Tant'è che ricordo che la mia Prof. di Analisi I ci scrisse questo alla lavagna:
\[\text{Teorema di Bolzano}\iff\text{Teorema degli zeri}\]
EDIT:
addirittura, digitando "Teorema degli zeri" su Google, il primo link che compare è "Teorema di Bolzano - Wikipedia"
Ah, ma io non stavo cercando di dimostrare nulla: con teorema di Bolzano intendo il 'teorema degli zeri'. Sono due teoremi diversi?
Sì, ma sono equivalenti. Nel senso che uno implica l'altro. Ad ogni modo, come hai osservato pure tu, per concludere la "dimostrazione" si può usare il teorema di Bolzano* solo nel caso $h,k\in RR$.
________________________________
*usarlo come hai detto tu; in alternativa, lo si potrebbe tirare in ballo una volta stabilita l'esistenza di $\alpha$ e $\beta$.
________________________________
*usarlo come hai detto tu; in alternativa, lo si potrebbe tirare in ballo una volta stabilita l'esistenza di $\alpha$ e $\beta$.
Ho fatto una piccola ricerca: il risultato è esatto, ma, come era ovvio che fosse, qualcuno ci è arrivato prima di me 
Nel senso che ho trovato questa "forma" del Teorema degli zeri in una dispensa in rete, dimostrata pressappoco nello stesso modo. Vabè...possiamo chiudere il topic
Beh, se i due limiti sono finiti basta considerare l'estensione continua di \(f\) a tutto \([a,b]\).
Se uno od entrambi i limiti non sono finiti, allora è chiaro che ci si può restringere ad un sottointervallo compatto \([\alpha ,beta] \subseteq ]a,b[\) tale che \(f(\alpha)<0
Insomma, la cosa è abbastanza semplice.
Se uno od entrambi i limiti non sono finiti, allora è chiaro che ci si può restringere ad un sottointervallo compatto \([\alpha ,beta] \subseteq ]a,b[\) tale che \(f(\alpha)<0
Insomma, la cosa è abbastanza semplice.
Beh, Gugo, che ti aspetti da un semplice studente quale sono? Già è tanto che abbia dedotto questa cosa da solo non trovi?
Già è tanto che abbia dedotto questa cosa da solo non trovi?
Certo, Plepp.
Ah... Evidentemente la faccenda dell'estensione continua funziona solo quando \(a\) e \(b\) sono entrambi al finito.
Ah... Evidentemente la faccenda dell'estensione continua funziona solo quando \(a\) e \(b\) sono entrambi al finito.
Si, è chiaro per questo avevo pensato di provare l'esistenza del compatto $[\alpha,\beta]\subset (a,b)$ nel quale fossero verificate per $f$ le ipotesi del Teorema degli zeri (oppure, che è lo stesso, del Teorema dei valori intermedi).
per questo avevo pensato di provare l'esistenza del compatto $[\alpha,\beta]\subset (a,b)$ nel quale fossero verificate per $f$ le ipotesi del Teorema degli zeri (oppure, che è lo stesso, del Teorema dei valori intermedi).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo