Teorema degli zeri formulazione assurda
Bhè io ho sempre saputo che se f è continua in [a,b] e f(a)f(b)<0, allora f si annulla almeno una volta in [a,b].
Questo è un suo corollario, e mi pare impossibile che abbia 3 ipotesi, ma è proprio così.. qualcuno sà la 3°???
ip1) f $in$ $C^0(A)$
ip2) f non ha zeri in A
ip3) ???
tesi) f(x) > 0 per ogni x appartenente ad A, o f(x) < 0 per ogni x appartenente ad A
Questo è un suo corollario, e mi pare impossibile che abbia 3 ipotesi, ma è proprio così.. qualcuno sà la 3°???
ip1) f $in$ $C^0(A)$
ip2) f non ha zeri in A
ip3) ???
tesi) f(x) > 0 per ogni x appartenente ad A, o f(x) < 0 per ogni x appartenente ad A
Risposte
Ciao,e benvenuto/a su questo Forum!
T'invito,con un esempio,a porre l'attenzione ad un principio di Logica tanto elementare quanto fondamentale;
se osservi la superfice d'un oggetto la stai certo guardando(A),ma se la stai guardando non è detto che la stai osservando:
sicuramente,però,se non guardi quella superficie non potrai osservarla..
Saluti dal web.
T'invito,con un esempio,a porre l'attenzione ad un principio di Logica tanto elementare quanto fondamentale;
se osservi la superfice d'un oggetto la stai certo guardando(A),ma se la stai guardando non è detto che la stai osservando:
sicuramente,però,se non guardi quella superficie non potrai osservarla..
Saluti dal web.
Forse $A$ dev'essere un intervallo?
$A$ e' connesso per archi.
P.s. vista la risposta di Plepp, meglio precisare che in $\mathbb R$ essere connesso per archi ed essere un intervallo e' la stessa cosa. Ovviamente quel corollario vale anche in dimensioni superiori, nelle quali non ha senso parlare di intervalli ed e' questo il motivo per cui generalmente si preferisce parlare di connessione per archi.
P.s. vista la risposta di Plepp, meglio precisare che in $\mathbb R$ essere connesso per archi ed essere un intervallo e' la stessa cosa. Ovviamente quel corollario vale anche in dimensioni superiori, nelle quali non ha senso parlare di intervalli ed e' questo il motivo per cui generalmente si preferisce parlare di connessione per archi.
lol valerio è il teorema per funzioni di una variabile 
)
Cmq concordo con plepp, è l'unica possibile che era venuta in mente pure a me.. basta sia un intervallo, non importa se chiuso, aperto, limitato o illimitato.. Se non si trattasse di un intervallo la funzione potrebbe essere si continua nel suo dominio, ma avere una parte che sta sopra le x e una che sta sotto.. in effetti poi è anche specificato che non è derivabile..
Theras che dici, ci siamo?
)Cmq concordo con plepp, è l'unica possibile che era venuta in mente pure a me.. basta sia un intervallo, non importa se chiuso, aperto, limitato o illimitato.. Se non si trattasse di un intervallo la funzione potrebbe essere si continua nel suo dominio, ma avere una parte che sta sopra le x e una che sta sotto.. in effetti poi è anche specificato che non è derivabile..
Theras che dici, ci siamo?
"Valerio Capraro":
$A$ e' connesso per archi.
P.s. vista la risposta di Plepp, meglio precisare che in $\mathbb R$ essere connesso per archi ed essere un intervallo e' la stessa cosa. Ovviamente quel corollario vale anche in dimensioni superiori, nelle quali non ha senso parlare di intervalli ed e' questo il motivo per cui generalmente si preferisce parlare di connessione per archi.
Giustissimo
Beh, per quanto sia insignificante come informazione, non è vero che è specificato che $f$ non è derivabile. Il fatto che sia di classe $\mathcal{C}^0$ non esclude che possa essere di classe $\mathcal{C}^k$
Ah quindi ci dice solo che C è continua senza specificare se f è derivabile o meno? ho sempre pensato che volesse dire che nn era derivabile, ma ora che mi ci fai pensare non aveva senso.. se ci fosse stato un 1, sarebbe stata derivabile una volta o almeno una volta?
Almeno una volta 
Pensala cosi, forse è più semplice; diciamo $\mathcal{C}^k$ lo spazio delle funzioni derivabili almeno $k$ volte se $k\ge 1$, mentre $\mathcal{C}^0$ è lo spazio delle funzioni continue. Evidentemente si ha $\mathcal{C}^k \subset \mathcal{C}^{k-1}$ (nel caso $k=1$, questo si traduce nel fatto che una funzione derivabile è anche continua), $\forall k\ge 1$.
Pensala cosi, forse è più semplice; diciamo $\mathcal{C}^k$ lo spazio delle funzioni derivabili almeno $k$ volte se $k\ge 1$, mentre $\mathcal{C}^0$ è lo spazio delle funzioni continue. Evidentemente si ha $\mathcal{C}^k \subset \mathcal{C}^{k-1}$ (nel caso $k=1$, questo si traduce nel fatto che una funzione derivabile è anche continua), $\forall k\ge 1$.
grz
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