Teorema degli zeri ed equivalenza Intervallo Aperto-Aperto connesso

[pepp1995]

La prof ha sottolineato che
"in R gli intervalli Aperti sono Tutti e soli gli Aperti connessi".
Ora confrontando l'enunciato del Teorema degli zeri in 1dimensione e quello esteso al caso n-simo ho notato che l'enunciato comincia con << Se f è continua in un "APERTO CONNESSO">>
Tuttavia in R l'enunciato cominciava con << Se f è continua in un intervallo COMPATTO [a,b] >>
Domanda: come fa un intervallo chiuso e limitato a diventare un APERTO CONNESSO ?
I colleghi mi hanno detto che in realtà :
" l'equivalenza riguarda APERTI CONNESSI ed Intervalli (chiusi o aperti non ha importanza)"

Confermate?

[Luca.Lussardi]

Si, la connessione e' la proprieta' che si conserva per applicazione continua.

[pepp1995]

Quindi non conta che l'intervallo di R sia chiuso o aperto, in Rn avrò sempre un APERTO CONNESSO ?

[Luca.Lussardi]

Puoi anche avere chiusi connessi, dipende da come vuoi enunciare il teorema, ma basta la connessione. Il fatto di prendere aperti connessi in $\mathbb R^n$ e' una comodita', perche' si puo' dimostrare che un aperto in $\mathbb R^n$ e' connesso se e solo se e' connesso per archi, essendo quest'ultima molto piu' facile da verificare rispetto alla pura connessione topologica.

[pepp1995]

Per "archi" intendi "mediante una poligonale" ?

[Weierstress]

"pepp1995":Per "archi" intendi "mediante una poligonale" ?

Uno spazio $X$ connesso per archi se per ogni coppia $x, y$ di $X$ esiste un'applicazione continua $f:[0,1]rarrX$ con $f(0)=x$ e $f(1)=y$.