Teorema degli zeri e del valor medio
Salve,
qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi in maniera semplice (magari con qualche esempio pratico) questi due teoremi?
Grazie in anticipo
qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi in maniera semplice (magari con qualche esempio pratico) questi due teoremi?
Grazie in anticipo
Risposte
Il teorema del valore medio, detta in parole molto povere è il modo per sapere qualè il valore medio assunto dalla funzione.
Supponi di avere dei valori discreti: $x_0, x_1,... x_n$
Come faresti la media?
$X_m= 1/n sum_(i=0)^n x_i
Con gli integrali invece ci rivolgiamo al campo continuo:
$X_m= 1/n int_0^n f(x) dx
Che nel caso più generale diventa:
$X_m= 1/(b-a) int_a^b f(x) dx
Adesso per farti un esempio più concettuale prendi il Mibtel:
e supponi che la funzione sia una teca di vetro riempita d'acqua fino all'orlo. Se tu ad un certo punto rompi la teca di vetro, l'acqua si stabilirà ad un certo livello... quel livello è il valore medio della funzione!
Ti può bastare come spiegazione?
PS: Chiedo perdono ai matematici del forum, ma è giusto per spiegarlo semplicemente
Supponi di avere dei valori discreti: $x_0, x_1,... x_n$
Come faresti la media?
$X_m= 1/n sum_(i=0)^n x_i
Con gli integrali invece ci rivolgiamo al campo continuo:
$X_m= 1/n int_0^n f(x) dx
Che nel caso più generale diventa:
$X_m= 1/(b-a) int_a^b f(x) dx
Adesso per farti un esempio più concettuale prendi il Mibtel:
e supponi che la funzione sia una teca di vetro riempita d'acqua fino all'orlo. Se tu ad un certo punto rompi la teca di vetro, l'acqua si stabilirà ad un certo livello... quel livello è il valore medio della funzione!
Ti può bastare come spiegazione?
PS: Chiedo perdono ai matematici del forum, ma è giusto per spiegarlo semplicemente
Ah, non avevo visto ke chiedevi anke per il teorema di esistenza degli zeri...
Guarda questo concetto è semplicissimo.
Data $f[a,b]->R$ continua con $f(a)f(b)<0$ ovvero che f(a) è di segno opposto a f(b) allora esiste c $ t.c. f(c)=0 $
Prova ad immaginarla così:
essendo la funzione continua, per disegnarla non puoi mai staccare la penna dal foglio. Ma quindi considerando y=f(x), per passare dagli y>0 agli y<0 devi per forza toccare con la penna l'asse delle x. Ciò vuol dire che esiste per forza un punto nel quale la funzione si annulla!
Anche se può sembrare molto banale il concetto, è fondamentale. Questo teorema viene per esempio utilizzato nell'importantissimo algoritmo di bisezione!
Guarda questo concetto è semplicissimo.
Data $f[a,b]->R$ continua con $f(a)f(b)<0$ ovvero che f(a) è di segno opposto a f(b) allora esiste c $ t.c. f(c)=0 $
Prova ad immaginarla così:
essendo la funzione continua, per disegnarla non puoi mai staccare la penna dal foglio. Ma quindi considerando y=f(x), per passare dagli y>0 agli y<0 devi per forza toccare con la penna l'asse delle x. Ciò vuol dire che esiste per forza un punto nel quale la funzione si annulla!
Anche se può sembrare molto banale il concetto, è fondamentale. Questo teorema viene per esempio utilizzato nell'importantissimo algoritmo di bisezione!
Ottima spiegazione AMs
degna di SISS!
degna di SISS!
Bene grazie
Dunque, per quanto riguarda il teorema degli zeri, ditemi se ho capito:
considero, per esempio, la funzione y=x^2 - x - 1
Se ad x dò valore 1, allora avrò y= - 1
Se ad x dò valore 2, allora avrò y= 1
Quindi, dal momento che questi due valori assumono segno diverso, posso concludere che tra 1 e -1 la funzione ha almeno uno zero
Il procedimento è giusto? C'è altro che dovrei mettere in pratica? Un mio amico mi ha detto che uno degli esercizi che il prof ha messo nell'esame consisteva, appunto, nel trovare gli zeri di una funzione...
considero, per esempio, la funzione y=x^2 - x - 1
Se ad x dò valore 1, allora avrò y= - 1
Se ad x dò valore 2, allora avrò y= 1
Quindi, dal momento che questi due valori assumono segno diverso, posso concludere che tra 1 e -1 la funzione ha almeno uno zero
Il procedimento è giusto? C'è altro che dovrei mettere in pratica? Un mio amico mi ha detto che uno degli esercizi che il prof ha messo nell'esame consisteva, appunto, nel trovare gli zeri di una funzione...
Sì, il procedimento è esatto!
Se ti è richiesto di trovare gli zeri della funzione con tale metodo si utilizza l'algoritmo di bisezione:
Dati 2 punti $x_1,x_2$ con y discordi
$1) a=x_1, b=x_2
$2) if f((a+b)/2=0) $ stop!
$3) if f(a)f((a+b)/2)<0
$ b=(a+b)/2;
$ else
$ a=(a+b)/2;
$4) goto 2
Esempio:
$f(x)=x^2-7x+6 $ con a=0, b=4
f(2)=0 ? no, vado avanti
f(0)f(2)<0 ? ok, continuo quindi con a=0,b=2
f(1)=0 ? sì, ho trovato lo zero!
fine
Se ti è richiesto di trovare gli zeri della funzione con tale metodo si utilizza l'algoritmo di bisezione:
Dati 2 punti $x_1,x_2$ con y discordi
$1) a=x_1, b=x_2
$2) if f((a+b)/2=0) $ stop!
$3) if f(a)f((a+b)/2)<0
$ b=(a+b)/2;
$ else
$ a=(a+b)/2;
$4) goto 2
Esempio:
$f(x)=x^2-7x+6 $ con a=0, b=4
f(2)=0 ? no, vado avanti
f(0)f(2)<0 ? ok, continuo quindi con a=0,b=2
f(1)=0 ? sì, ho trovato lo zero!
fine
"AMs":
Sì, il procedimento è esatto!
Se ti è richiesto di trovare gli zeri della funzione con tale metodo si utilizza l'algoritmo di bisezione:
Dati 2 punti $x_1,x_2$ con y discordi
$1) a=x_1, b=x_2
$2) if f((a+b)/2=0) $ stop!
$3) if f(a)f((a+b)/2)<0
$ b=(a+b)/2;
$ else
$ a=(a+b)/2;
$4) goto 2
Esempio:
$f(x)=x^2-7x+6 $ con a=0, b=4
f(2)=0 ? no, vado avanti
f(0)f(2)<0 ? ok, continuo quindi con a=0,b=2
f(1)=0 ? sì, ho trovato lo zero!
fine
Grazie AMs, sei un grande!
Una cosa sola: per procedere si utilizza sempre queste formule di riferimento? b=(a+b)/2 e a=(a+b)/2;
Sì, sempre! E' un caso generico... l'unica piccola nota ke ti posso aggiungere è ke l'algoritmo di bisezione, converge linearmente al risultato quindi non sempre lo trova in poche mosse (se non con infinite). Infatti l'algoritmo di bisezione completo prevede di fermarsi quando la lunghezza dell'intervallo [a,b] è minore di un certo ordine di grandezza
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