Teorema degli Zeri - Dimostrazione
Salve a tutti, fiero di porre la mia prima domanda, anche se grazie a questo forum, me ne sono state chiarite moltissime.
Dunque, il mio problema è la dimostrazione del Teorema degli Zeri.
Sia $ f:[a,b] -> R $ , se $ f $ è continua e $ f(a)f(b)<0 $, allora esiste $ c in ]a,b[ $, tale che $ f(c) = 0 $
Dimostrazione:
Suppongo che $ f(a) < 0 $ e $ f(b) > 0 $
Grazie al Teorema della permanenza del segno, deduco che esiste almeno un intorno destro di $ a $ ed uno sinistro di $ b $, così definiti:
$ EE I (a) : AA x in I (a) $ per cui $ f(x)<0 $
e
$ EE I (b) : AA x in I (b) $ per cui $ f(x)>0 $
Definisco quindi l'insieme $ A = { $ sup $ I(a) } $ dove $ f(x) < 0 $ e sia $ s = $ sup $ A $ dove $ s < b $
ora, prendendo l'intervallo $ [a,s[ $, quale il più grande intervallo dove $f(x)<0$ devo dimostrare che $f(s) = 0 $
ed è proprio qui che mi perdo.. so che $f(s)$ non può essere ne minore, ne maggiore di zero, perciò non resta altro che $f(s)=0$
e questo passaggio non mi è chiaro:
nel caso di $f(s)<0$ $ EE I (s) : AA x in I (s) $ per cui $ f(x)<0 $
e
nel caso di $f(s)>0$ $ EE x0 $
Qualcuno di disponibile di spiegarmi il motivo per cui $f(s)$ non può essere >0 e <0? Insomma, l'ultimo passaggio della dimostrazione.
Grazie mille in anticipo della disponibilità.
Dunque, il mio problema è la dimostrazione del Teorema degli Zeri.
Sia $ f:[a,b] -> R $ , se $ f $ è continua e $ f(a)f(b)<0 $, allora esiste $ c in ]a,b[ $, tale che $ f(c) = 0 $
Dimostrazione:
Suppongo che $ f(a) < 0 $ e $ f(b) > 0 $
Grazie al Teorema della permanenza del segno, deduco che esiste almeno un intorno destro di $ a $ ed uno sinistro di $ b $, così definiti:
$ EE I (a) : AA x in I (a) $ per cui $ f(x)<0 $
e
$ EE I (b) : AA x in I (b) $ per cui $ f(x)>0 $
Definisco quindi l'insieme $ A = { $ sup $ I(a) } $ dove $ f(x) < 0 $ e sia $ s = $ sup $ A $ dove $ s < b $
ora, prendendo l'intervallo $ [a,s[ $, quale il più grande intervallo dove $f(x)<0$ devo dimostrare che $f(s) = 0 $
ed è proprio qui che mi perdo.. so che $f(s)$ non può essere ne minore, ne maggiore di zero, perciò non resta altro che $f(s)=0$
e questo passaggio non mi è chiaro:
nel caso di $f(s)<0$ $ EE I (s) : AA x in I (s) $ per cui $ f(x)<0 $
e
nel caso di $f(s)>0$ $ EE x
Qualcuno di disponibile di spiegarmi il motivo per cui $f(s)$ non può essere >0 e <0? Insomma, l'ultimo passaggio della dimostrazione.
Grazie mille in anticipo della disponibilità.
Risposte
Ciao, per dimostrarlo si procede per assurdo.
Poniamo $E={x\in[a,b]:f(x)>=0}$
Essendo inferiormente limitato e non vuoto, allora ammette \(\displaystyle p= \inf E \).
Ora puoi procedere per assurdo:
Se fosse $f(p) > 0$. Siccome f è continua in p, avresti che per la permanenza del segno di funzioni continue:
$\exists \delta > 0$ tale che per $|x-p|<\delta$ hai che $f(x)>0$
E quindi, in particolare avresti che il punto $q=p-\delta /2 \in E$ e quindi essendo $q
Se invece fosse $f(p)<0$ , come sopra:
$\exists \delta > 0$ tale che per $|x-p|<\delta$ hai che $f(x)<0$
Quindi i punti dell'insieme $[p,p+\delta)$ non sono punti di E, e quindi come sopra $q = p+\delta > p$ Per cui $p$ è si minorante ma non è il più grande, quindi non può essere l'estremo inferiore.
Dalle due concludi che quindi $f(p)=0$ per forza.
Ciao spero di essere stato chiaro!
Se hai dubbi chiedi pure
Poniamo $E={x\in[a,b]:f(x)>=0}$
Essendo inferiormente limitato e non vuoto, allora ammette \(\displaystyle p= \inf E \).
Ora puoi procedere per assurdo:
Se fosse $f(p) > 0$. Siccome f è continua in p, avresti che per la permanenza del segno di funzioni continue:
$\exists \delta > 0$ tale che per $|x-p|<\delta$ hai che $f(x)>0$
E quindi, in particolare avresti che il punto $q=p-\delta /2 \in E$ e quindi essendo $q
Se invece fosse $f(p)<0$ , come sopra:
$\exists \delta > 0$ tale che per $|x-p|<\delta$ hai che $f(x)<0$
Quindi i punti dell'insieme $[p,p+\delta)$ non sono punti di E, e quindi come sopra $q = p+\delta > p$ Per cui $p$ è si minorante ma non è il più grande, quindi non può essere l'estremo inferiore.
Dalle due concludi che quindi $f(p)=0$ per forza.
Ciao spero di essere stato chiaro!
Se hai dubbi chiedi pure
Ah, gli analisti 
. Se si facesse un mesetto di topologia prima di iniziare analisi ci si toglierebbe un bel po' di dimostrazioni “più lunghe del necessario”.
\(\displaystyle f \) è continua e la connessione è una proprietà topologica (\(\displaystyle [a,b] \) è connesso e, addirittura, compatto). Nelle condizioni del teorema \(0\) è compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\). Pertanto se \(0\) non appartenesse a \(\displaystyle f[a,b] \) si avrebbe che \(\displaystyle f[a,b] \) non è connesso, contro le ipotesi che \(\displaystyle f \) sia continua. Se la cosa non appare ovvia si possono considerare i due aperti \(\displaystyle (-\infty,0) \) e \(\displaystyle (0,\infty) \) oppure scomodare la continuità di \(\displaystyle g(x) = \frac{x}{\lvert x \rvert} \) per \(\displaystyle x\neq 0 \).
. Se si facesse un mesetto di topologia prima di iniziare analisi ci si toglierebbe un bel po' di dimostrazioni “più lunghe del necessario”.\(\displaystyle f \) è continua e la connessione è una proprietà topologica (\(\displaystyle [a,b] \) è connesso e, addirittura, compatto). Nelle condizioni del teorema \(0\) è compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\). Pertanto se \(0\) non appartenesse a \(\displaystyle f[a,b] \) si avrebbe che \(\displaystyle f[a,b] \) non è connesso, contro le ipotesi che \(\displaystyle f \) sia continua. Se la cosa non appare ovvia si possono considerare i due aperti \(\displaystyle (-\infty,0) \) e \(\displaystyle (0,\infty) \) oppure scomodare la continuità di \(\displaystyle g(x) = \frac{x}{\lvert x \rvert} \) per \(\displaystyle x\neq 0 \).
Non conoscevo la dimostrazione di vict85 che direi essere più elegante.
Io ricordo che il mio prof lo dimostrò per assurdo, più che altro perchè come dici tu si saltano definizioni topologiche (che poi ci hanno dovuto spiegare in analisi 2).
Su questo forum si ha sempre da imparare!
Io ricordo che il mio prof lo dimostrò per assurdo, più che altro perchè come dici tu si saltano definizioni topologiche (che poi ci hanno dovuto spiegare in analisi 2).
Su questo forum si ha sempre da imparare!
Ringrazio della disponibilità.
Ringrazio anche vict85, ma essendo del corso di Analisi I, non ho fatto quel mese di topologia e pertanto non potrò sfruttare la dimostrazione da te proposta. Peccato, è veramente molto elegante (Cit. Zurzaza).
Ringrazio anche vict85, ma essendo del corso di Analisi I, non ho fatto quel mese di topologia e pertanto non potrò sfruttare la dimostrazione da te proposta. Peccato, è veramente molto elegante (Cit. Zurzaza).
Nella stessa scia, ma un po' diversa...
Prendiamo:
\[
N:= \{x\in [a,b]:\ \forall t\in [a, x],\ f(t)< 0\}
\]
(noto esplicitamente che \(a\in N\) e che \(x\in N\ \Rightarrow\ f(x)<0\)).
Tale insieme è limitato (perché contenuto in \([a,b]\)) ed ha estremo superiore \(0\), perciò \(\sup N \leq b-\delta
Per permanenza del segno, \(f(s)\leq 0\).
D'altra parte, se per assurdo fosse \(f(s)<0\) dovrebbe esistere un intorno completo \(]s-\delta,s+\delta[\) in cui \(f(x)<0\) e ciò implicherebbe \(s+\delta \in N\) (poiché \([a,s+\delta[ = [a,s[\cup[s,s+\delta[\) ed \(f\) è negativa sia in \([a,s[=N\) sia in \([s,s+\delta[\)), contro il fatto che \(s=\sup N\).
Pertanto \(f(s)=0\).
Prendiamo:
\[
N:= \{x\in [a,b]:\ \forall t\in [a, x],\ f(t)< 0\}
\]
(noto esplicitamente che \(a\in N\) e che \(x\in N\ \Rightarrow\ f(x)<0\)).
Tale insieme è limitato (perché contenuto in \([a,b]\)) ed ha estremo superiore \(
Per permanenza del segno, \(f(s)\leq 0\).
D'altra parte, se per assurdo fosse \(f(s)<0\) dovrebbe esistere un intorno completo \(]s-\delta,s+\delta[\) in cui \(f(x)<0\) e ciò implicherebbe \(s+\delta \in N\) (poiché \([a,s+\delta[ = [a,s[\cup[s,s+\delta[\) ed \(f\) è negativa sia in \([a,s[=N\) sia in \([s,s+\delta[\)), contro il fatto che \(s=\sup N\).
Pertanto \(f(s)=0\).
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