Teorema degli zeri by Wikipedia
Qui, Dimostrazione (con metodo di bisezione), dove dice "Nondimeno il fatto che $[a,b]$ sia chiuso assicura che $c\in[a,b]$".
Ma è proprio necessario dire questo fatto? Che $c\in[a,b]$ si ottiene immediatamente dalla disuguaglianza
\[a\le a_n\le c_n\le b_n\le b\]
no?
Ma è proprio necessario dire questo fatto? Che $c\in[a,b]$ si ottiene immediatamente dalla disuguaglianza
\[a\le a_n\le c_n\le b_n\le b\]
no?
Risposte
Ciao, ti dico come lo avrei esposto: magari ti potrebbe aiutare (almeno lo spero).
Consideriamo una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e sia $[a,b]\subseteq Dom(f)$ un intervallo chiuso e limitato (1) contenuto nel dominio della funzione. Supponiamo inoltre che $f$ sia una funzione continua su $[a,b]$ (2), e che essa assuma agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto (3), cioè che
$f(a)\cdot f(b)<0$.
Allora $f$ ammette almeno uno zero interno ad $[a,b]$, cioè esiste almeno un punto $x_0\in (a,b)$ tale che $f(x_0)=0$.
Dimostriamolo per bisezione, che è una procedura per passi che proverà l'esistenza di un punto $x_0\in (a,b)$
in cui la funzione $f$ si annulla.
Supponiamo che sia $f(a)<0$ e $f(b)>0$; in caso contrario la dimostrazione sarà del tutto analoga.
Consideriamo il punto medio $x_M$ dell'intervallo $[a,b]$, cioè $x_M=\frac{a+b}{2}$, e valutiamo la funzione in tale punto. In altre parole valutiamo $f(x_M)$.
Abbiamo tre possibilità:
1. $f(x_M)=0$. In tal caso abbiamo finito
2. $f(x_M)<0$;
3. $f(x_M)>0$.
L'idea è quella di restringere l'intervallo d'azione e di considerare uno dei due sottointervalli in modo tale da preservare la validità delle tre ipotesi del teorema. Sulla continuità e sulla chiusura + limitatezza del sottointervallo non ci sono problemi, d'altra parte è evidente che per scegliere $[a,x_M]$ oppure $[x_M,b]$ dovremo fare riferimento ai valori assunti dalla funzione agli estremi, e quindi dovremo prendere:
- nel caso 2) l'intervallo $[x_M,b]$, poiché $f(x_M)<0$ e $f(b)>0$;
- nel caso 3) l'intervallo $[a,x_M]$, poiché $f(a)<0$ e $f(x_M)>0$.
Immaginiamo di trovarci nella prima delle due eventualità, cosicché ci riduciamo a lavorare su $[x_M,b]$.
Reiteriamo l'intero procedimento, con la stessa identica logica.
Così facendo costruiamo una successione di intervalli inscatolati
$ [a,b]=I_0 I_1I_2... I_n ...$
e in tale procedimento iterativo abbiamo due possibilità:
1. ad un passo $k$ il punto medio dell'intervallo $I_k$ è uno zero della funzione $f$;
2. continuiamo a procedere per bisezione.
Prima o poi, infatti, riusciremo a trovare uno zero $x_0$ per $f$, cioè un punto tale per cui $f(x_0)=0$
$x_0$ cosi ottenuto è effettivamente uno zero di $f$.
Infatti, osserviamo che $\{f(a_n)\}_n$ è una successione strettamente negativa (per la nostra ipotesi), mentre $\{f(b_n)\}_n$ è strettamente positiva. Ragioniamo per assurdo, e consideriamo $f(x_0)$.
Sappiamo per continuità di $f$ che
$\lim_{n\to +\infty}f(a_n)=f(x_0)\ ;\ \lim_{n\to +\infty}{f(b_n)}=f(x_0)$
Se per assurdo fosse $f(x_0)<0$ cadremmo in contraddizione con il teorema della permanenza del segno, perché il limite della successione $\{f(b_n)\}$ non può essere negativo. Di contro, se fosse $f(x_0)>0$ cadremmo in contraddizione con la permanenza del segno per il limite di $\{f(a_n)\}$.
L'unica possibilità è che sia $f(x_0)=0$
.
Metto in Ot [ot]La conclusione della dimostrazione può creare dubbi (in particolare ciò che trae in inganno è il riferimento al teorema della permanenza del segno) perché si è erroneamente portati a pensare che una successione di termini positivi (o negativi) debba avere limite positivo (o negativo). Non è così. Il teorema della permanenza del segno dice che una successione a termini positivi non può avere limite negativo, e che una successione a termini negativi non può avere limite positivo.
Un esempio? La successione ${\frac{1}{n}}_n$ ha tutti i termini positivi, e ha limite zero.
Attenzione anche al fatto che il teorema degli zeri stabilisce che esiste almeno uno zero nell'intervallo dato, e non un solo zero! Se una funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri potrebbe avere poi due, mille zeri interni all'intervallo, ma non è di questo che si occupa il succitato teorema: esso si preoccupa solamente dell'esistenza di almeno uno zero, e non del numero di zeri.[/ot] usando il copincolla quando già detto qui viewtopic.php?f=36&t=118297&hilit=+teorema+degli+zeri
Consideriamo una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e sia $[a,b]\subseteq Dom(f)$ un intervallo chiuso e limitato (1) contenuto nel dominio della funzione. Supponiamo inoltre che $f$ sia una funzione continua su $[a,b]$ (2), e che essa assuma agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto (3), cioè che
$f(a)\cdot f(b)<0$.
Allora $f$ ammette almeno uno zero interno ad $[a,b]$, cioè esiste almeno un punto $x_0\in (a,b)$ tale che $f(x_0)=0$.
Dimostriamolo per bisezione, che è una procedura per passi che proverà l'esistenza di un punto $x_0\in (a,b)$
in cui la funzione $f$ si annulla.
Supponiamo che sia $f(a)<0$ e $f(b)>0$; in caso contrario la dimostrazione sarà del tutto analoga.
Consideriamo il punto medio $x_M$ dell'intervallo $[a,b]$, cioè $x_M=\frac{a+b}{2}$, e valutiamo la funzione in tale punto. In altre parole valutiamo $f(x_M)$.
Abbiamo tre possibilità:
1. $f(x_M)=0$. In tal caso abbiamo finito
2. $f(x_M)<0$;
3. $f(x_M)>0$.
L'idea è quella di restringere l'intervallo d'azione e di considerare uno dei due sottointervalli in modo tale da preservare la validità delle tre ipotesi del teorema. Sulla continuità e sulla chiusura + limitatezza del sottointervallo non ci sono problemi, d'altra parte è evidente che per scegliere $[a,x_M]$ oppure $[x_M,b]$ dovremo fare riferimento ai valori assunti dalla funzione agli estremi, e quindi dovremo prendere:
- nel caso 2) l'intervallo $[x_M,b]$, poiché $f(x_M)<0$ e $f(b)>0$;
- nel caso 3) l'intervallo $[a,x_M]$, poiché $f(a)<0$ e $f(x_M)>0$.
Immaginiamo di trovarci nella prima delle due eventualità, cosicché ci riduciamo a lavorare su $[x_M,b]$.
Reiteriamo l'intero procedimento, con la stessa identica logica.
Così facendo costruiamo una successione di intervalli inscatolati
$ [a,b]=I_0 I_1I_2... I_n ...$
e in tale procedimento iterativo abbiamo due possibilità:
1. ad un passo $k$ il punto medio dell'intervallo $I_k$ è uno zero della funzione $f$;
2. continuiamo a procedere per bisezione.
Prima o poi, infatti, riusciremo a trovare uno zero $x_0$ per $f$, cioè un punto tale per cui $f(x_0)=0$
$x_0$ cosi ottenuto è effettivamente uno zero di $f$.
Infatti, osserviamo che $\{f(a_n)\}_n$ è una successione strettamente negativa (per la nostra ipotesi), mentre $\{f(b_n)\}_n$ è strettamente positiva. Ragioniamo per assurdo, e consideriamo $f(x_0)$.
Sappiamo per continuità di $f$ che
$\lim_{n\to +\infty}f(a_n)=f(x_0)\ ;\ \lim_{n\to +\infty}{f(b_n)}=f(x_0)$
Se per assurdo fosse $f(x_0)<0$ cadremmo in contraddizione con il teorema della permanenza del segno, perché il limite della successione $\{f(b_n)\}$ non può essere negativo. Di contro, se fosse $f(x_0)>0$ cadremmo in contraddizione con la permanenza del segno per il limite di $\{f(a_n)\}$.
L'unica possibilità è che sia $f(x_0)=0$
.Metto in Ot [ot]La conclusione della dimostrazione può creare dubbi (in particolare ciò che trae in inganno è il riferimento al teorema della permanenza del segno) perché si è erroneamente portati a pensare che una successione di termini positivi (o negativi) debba avere limite positivo (o negativo). Non è così. Il teorema della permanenza del segno dice che una successione a termini positivi non può avere limite negativo, e che una successione a termini negativi non può avere limite positivo.
Un esempio? La successione ${\frac{1}{n}}_n$ ha tutti i termini positivi, e ha limite zero.
Attenzione anche al fatto che il teorema degli zeri stabilisce che esiste almeno uno zero nell'intervallo dato, e non un solo zero! Se una funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri potrebbe avere poi due, mille zeri interni all'intervallo, ma non è di questo che si occupa il succitato teorema: esso si preoccupa solamente dell'esistenza di almeno uno zero, e non del numero di zeri.[/ot] usando il copincolla quando già detto qui viewtopic.php?f=36&t=118297&hilit=+teorema+degli+zeri
"Luca97":
Ciao, ti dico come lo avrei esposto [...]
Come l'avresti esposto tu o come l'avrebbe esposto qualcun altro?
Ad ogni modo, scusami se mi permetto, però la domanda di plepp è precisa e mirata, non serve riportare tutta la dimostrazione (per quanto possa essere utile).
@ plepp: probabilmente, ma non ne sono certo, l'autore dell'articolo su wiki intendeva usare la completezza di $[a,b]$ (in quanto chiuso: un sottoinsieme di un metrico completo è completo sse chiuso); insomma, quello che voleva dire è che il limite di una successione in $[a,b]$, se esiste, sta ancora in $[a,b]$. In un certo senso, sta rimarcando il fatto che siamo in $RR$ e questa è la cosa veramente importante da capire: la completezza dello spazio gioca un ruolo cruciale (per dire, il teorema vale in $RR$ ma non in $QQ$). Ad ogni modo, io non la vedo come una precisazione sostanziale, soprattutto se hai già osservato che serve uno spazio completo.
"Paolo90":
[quote="Luca97"]Ciao, ti dico come lo avrei esposto [...]
Come l'avresti esposto tu o come l'avrebbe esposto qualcun altro?[/quote]
[ot]Avrei risposto proprio come quel "qualcun altro". Ad ogni modo l'importante è aiutare plepp .[/ot]
@Luca97
[ot]Non lo nego, l'importante è certamente aiutare plepp; ma "copiaincollare" un testo da un altro sito (testo che peraltro non risponde nemmeno alla domanda posta), spacciandolo per farina del proprio sacco, non è, a mio avviso, eticamente corretto. A quel punto, meglio mettere direttamente un link. Ad ogni modo, fine ot.[/ot]
[ot]Non lo nego, l'importante è certamente aiutare plepp; ma "copiaincollare" un testo da un altro sito (testo che peraltro non risponde nemmeno alla domanda posta), spacciandolo per farina del proprio sacco, non è, a mio avviso, eticamente corretto. A quel punto, meglio mettere direttamente un link. Ad ogni modo, fine ot.[/ot]
@Luca: ti ringrazio, ma come ha osservato Paolo tutto questo non risponde alla mia domanda.
@Paolo:
Momento-momento-momento Questi - interessantissimi - discorsi, giustamente/purtroppo, non sono stati approfonditi granché nel corso di Analisi 1, quindi faccio un po' di fatica a leggerti e capirti profondamente. L'unica cosa che si è fatta è dare la definizione di spazio metrico completo (ogni successione di Cauchy converge) e dimostrare che $RR$ lo è, grazie a Bolzano-Weierstrass.
Detto questo, mi vien da pensare subito che uno spazio (sequenzialmente) compatto è certamente completo* (magari può valere pure il viceversa, ma non azzardo ), ma faccio fatica a pensare come dimostrare che "chiuso $\Leftrightarrow$ completo". 
Okay, perché $[a,b]$ è chiuso. La mia "obiezione" era: stiamo ammazzando una mosca con un cannone
...for dummies: "$QQ$ c'ha i buchi ed $RR$ non ne ha", giusto? Esempio: $f(x):=x^2-2$ non si annulla mai in $[0,2]\cap QQ$.
Sono un po' confuso comunque. Quando si dice che "il Teorema vale in $RR$ ma non in $X$" - $X$ spazio metrico - credo proprio che si intenda che il Teorema non vale per funzioni $f:X\to RR$, no? Nella dimostrazione che ho (quella per bisezione), però, c'è in ballo anche il fatto che $RR$ è ordinato; come faccio a parlare di successioni crescenti e decrescenti altrimenti? Illuminami, ché al di fuori di $RR$ è parecchio buio 
Non riesco bene a immaginare cosa potrebbe succedere altrove (se non in $RR$ o $QQ$) e perché (tipo vorrei un esempio di spazio $X$ in cui il Teorema funziona e di uno spazio $X'$ in cui non funziona: confido in te).
E il fatto che $X$ sia connesso (in $RR$ un intervallo) come si sfrutta altrove?
[size=85]_______________________
*l'ipotesi "$X$ compatto" farebbe le veci di Bolzano-Weierstrass, giusto?[/size]
@Paolo:
"Paolo90":
@ plepp: probabilmente, ma non ne sono certo, l'autore dell'articolo su wiki intendeva usare la completezza di $[a,b]$ (in quanto chiuso: un sottoinsieme di un metrico completo è completo sse chiuso)
Momento-momento-momento
Questi - interessantissimi - discorsi, giustamente/purtroppo, non sono stati approfonditi granché nel corso di Analisi 1, quindi faccio un po' di fatica a leggerti e capirti profondamente. L'unica cosa che si è fatta è dare la definizione di spazio metrico completo (ogni successione di Cauchy converge) e dimostrare che $RR$ lo è, grazie a Bolzano-Weierstrass. Detto questo, mi vien da pensare subito che uno spazio (sequenzialmente) compatto è certamente completo* (magari può valere pure il viceversa, ma non azzardo
), ma faccio fatica a pensare come dimostrare che "chiuso $\Leftrightarrow$ completo". "Paolo90":
insomma, quello che voleva dire è che il limite di una successione in $[a,b]$, se esiste, sta ancora in $[a,b]$.
Okay, perché $[a,b]$ è chiuso. La mia "obiezione" era: stiamo ammazzando una mosca con un cannone
"Paolo90":
In un certo senso, sta rimarcando il fatto che siamo in $RR$ e questa è la cosa veramente importante da capire: la completezza dello spazio gioca un ruolo cruciale (per dire, il teorema vale in $RR$ ma non in $QQ$). Ad ogni modo, io non la vedo come una precisazione sostanziale, soprattutto se hai già osservato che serve uno spazio completo.
...for dummies: "$QQ$ c'ha i buchi ed $RR$ non ne ha", giusto?
Esempio: $f(x):=x^2-2$ non si annulla mai in $[0,2]\cap QQ$.Sono un po' confuso comunque. Quando si dice che "il Teorema vale in $RR$ ma non in $X$" - $X$ spazio metrico - credo proprio che si intenda che il Teorema non vale per funzioni $f:X\to RR$, no? Nella dimostrazione che ho (quella per bisezione), però, c'è in ballo anche il fatto che $RR$ è ordinato; come faccio a parlare di successioni crescenti e decrescenti altrimenti?
Illuminami, ché al di fuori di $RR$ è parecchio buio Non riesco bene a immaginare cosa potrebbe succedere altrove (se non in $RR$ o $QQ$) e perché (tipo vorrei un esempio di spazio $X$ in cui il Teorema funziona e di uno spazio $X'$ in cui non funziona: confido in te).
E il fatto che $X$ sia connesso (in $RR$ un intervallo) come si sfrutta altrove?
[size=85]_______________________
*l'ipotesi "$X$ compatto" farebbe le veci di Bolzano-Weierstrass, giusto?[/size]
Ma è proprio necessario dire questo fatto? Che $c\in[a,b]$ si ottiene immediatamente dalla disuguaglianza
\[a\le a_n\le c_n\le b_n\le b\]
no?[/quote]
Posso dare una risposta molto semplice alla domanda di Plepp? Perché mi sembra che ha ragione a dire che stiamo ammazzando una mosca con un cannone. E' necessario che l'intervallo sia chiuso, cosicché contiene gli estremi a e b. Se fosse aperto e la disuguaglianza scritta da Plepp si verificasse come uguaglianza, ad es. fosse c=a, c non starebbe nelll'intervallo ma fuori. O no?
\[a\le a_n\le c_n\le b_n\le b\]
no?
[/quote]Posso dare una risposta molto semplice alla domanda di Plepp? Perché mi sembra che ha ragione a dire che stiamo ammazzando una mosca con un cannone. E' necessario che l'intervallo sia chiuso, cosicché contiene gli estremi a e b. Se fosse aperto e la disuguaglianza scritta da Plepp si verificasse come uguaglianza, ad es. fosse c=a, c non starebbe nelll'intervallo ma fuori. O no?
"Paolo90":
@ plepp: probabilmente, ma non ne sono certo, l'autore dell'articolo su wiki intendeva usare la completezza di $[a,b]$ (in quanto chiuso: un sottoinsieme di un metrico completo è completo sse chiuso); insomma, quello che voleva dire è che il limite di una successione in $[a,b]$, se esiste, sta ancora in $[a,b]$. In un certo senso, sta rimarcando il fatto che siamo in $RR$ e questa è la cosa veramente importante da capire: la completezza dello spazio gioca un ruolo cruciale (per dire, il teorema vale in $RR$ ma non in $QQ$). Ad ogni modo, io non la vedo come una precisazione sostanziale, soprattutto se hai già osservato che serve uno spazio completo.
Si può usare quello o la proprietà dei chiusi incapsulati. Ma sarebbe utile aver prima fatto vedere che le due proprietà sono strettamente collegate.
In fondo si può porre \(\displaystyle I_0 = [a_0, b_0] \) e \(\displaystyle I_{i+1} = [a_{i+1}, b_{i+1}] = \begin{cases} [a_i, c_i] \text{ se } c_i b_i > 0 \\ [c_i, b_i] \text{ se } c_i a_i > 0 \\ [c_i, c_i] \text{ se } c_i = 0 \end{cases} \) dove \(\displaystyle c_i = a_i + \frac{b_i - a_i}{2}\). A questo punto si ha che il diametro dell'intervallo tende a zero, e quindi si può usare la proprietà dei chiusi incapsulati per mostrare che la loro intersezione è non vuota.
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