Teorema degli zeri
salve a tutti, volevo avere qualche parere su questo esercizio:
Stabilire, senza ricavarlo algebricamente, che la seguente equazione ha due sole soluzioni nell'intervallo (-1,1)
$ e^(2/(1-x^2))=e^4 $
nn capisco come posso risolvere questo esercizio senza risolverlo algebricamente!
grazie a tutti coloro che mi aiuteranno
Stabilire, senza ricavarlo algebricamente, che la seguente equazione ha due sole soluzioni nell'intervallo (-1,1)
$ e^(2/(1-x^2))=e^4 $
nn capisco come posso risolvere questo esercizio senza risolverlo algebricamente!
grazie a tutti coloro che mi aiuteranno
Risposte
Prova ad osservare il comportamento della derivata di $e^{2/(1-x^2)}-e^4$.
Come da titolo, dovrai cercare di applicare il teorema degli zeri!
Paola
Come da titolo, dovrai cercare di applicare il teorema degli zeri!
Paola
scusa ma cosi nn mi ricavo la risp. algebricamente?
No algebricamente sarebbe fare:
$2/(1-x^2) = 4 , ...$
Paola
$2/(1-x^2) = 4 , ...$
Paola
ah ok....quindi dopo aver fatto la derivata ovvero:
$ (2e^(2/(1-x^2))2 x)/(1-x^2)^2 $
la pongo >0?
$ (2e^(2/(1-x^2))2 x)/(1-x^2)^2 $
la pongo >0?
Studia gli intervalli di monotonia, ovvero il segno della derivata.
Attenzione a fare il dominio all'inizio di tutto eh.
Dovrai anche studiare il comportamento alla frontiera del dominio.
Infatti, ad esempio, la funzione $e^x$ ha derivata positiva su tutto $\mathbb{R}$, ma non ha zeri, perchè $\lim_{x\to-\infty}e^x =0, \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$. Il comportamento sulla frontiera è determinante!
Paola
Attenzione a fare il dominio all'inizio di tutto eh.
Dovrai anche studiare il comportamento alla frontiera del dominio.
Infatti, ad esempio, la funzione $e^x$ ha derivata positiva su tutto $\mathbb{R}$, ma non ha zeri, perchè $\lim_{x\to-\infty}e^x =0, \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$. Il comportamento sulla frontiera è determinante!
Paola
ma il dominio nn è tutto R ? scusa volevo dire tutto r privato di -1 e 1....
Esatto. Attenzione a controllare anche cosa accade vicino a quei due valori.
Paola
Paola
si si ho provato a fare il limite per x che tende a ( -1 )+ e a (1)- e mi sono usciti tutti e due $ +oo $ quindi 2 as. verticali.
quindi ora devo porre la derivata >0 e vedere se cresce o decresc.? ho visto ponendo la derivata >0 che in zero ho un minimo assoluto (concavità verso l'alto) sempre tenendo conto del mio dominio...ora come faccio a vedere gli zeri? cioè, come faccio a dire se ha due sole soluzioni nel mio intervallo?
quindi ora devo porre la derivata >0 e vedere se cresce o decresc.? ho visto ponendo la derivata >0 che in zero ho un minimo assoluto (concavità verso l'alto) sempre tenendo conto del mio dominio...ora come faccio a vedere gli zeri? cioè, come faccio a dire se ha due sole soluzioni nel mio intervallo?
Guarda quanto vale nel punto di minimo...
Paola
Paola
visto, è un numero negativo quindi avrò per forza di cose 2 sole soluzioni in (-1,1)...ma facendo cosi nn l'ho calcolato algebricamente?
No, questo è un metodo grafico per metodo algebrico si intende ad esempio utilizzare una formula risolutiva come per le equazioni di II grado..
per metodo algebrico si intende ad esempio utilizzare una formula risolutiva come per le equazioni di II grado..
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