Teorema degli zeri

[catux1]

Considerata la funzione così definita in R
$f(x)=$ $\{(log(k+x) [ x>=0]),(e^x-1 [ x<0]):}$
-Determinare k in modo che $f(x)$ sia applicabile il teorema degli zeri relativamente all'intervallo $[-2, 5]$;
-Dire se per il valore di k trovato al punto precedente, $f(x)$ risulta derivabile in $x=0$.

Questo esercizio non ho capito come si svolge. Ovviamente bisogna verificare se applicabile il teorema degli zeri o teorema di Bolzano, il quale afferma che: Sia una funzione continua il $[a, b]$, intervallo chiuso e limitato, se $f(a)<0 , f(b)>0$ allora $EE$ $x_0$ $in$ $]a, b[$ $t.c. f(x_0)=0$
C'è qualcuno che può aiutarmi?

[Noisemaker]

l'ipotesi del teorema chiede che la funzione risulti continua in $[-2,5]$, quindi poichè hai un punto di ""saldatura"" in $x=0$ devi vedere prima di tutto quando la funzione $f(x)$ risulta continua in $x=0;$ fatto ciò hai concluso (perchè?)

[catux1]

Forse perché, se la funzione risulta continua in $x=0$, allora è accertata l'esistenza di un punto in cui $f(x_0)=0$? Comunque la traccia chiede di calcolare k. E non riesco a capire come si faccia a calcolare.

[Marcos871]

Intanto imponi la condizione di continuità in $x=0$, imponendo che l'espressione per la funzione per $x\leq 0$ e per $x\geq 0$ coincidano, così trovi $k$ che soddisfa questa relazione. A quel punto sei nelle ipotesi del teorema, per cui esisterà il punto $x_0$ che realizza la tesi.

[Noisemaker]

"catux":Forse perché, se la funzione risulta continua in $x=0$, allora è accertata l'esistenza di un punto in cui $f(x_0)=0$? Comunque la traccia chiede di calcolare k. E non riesco a capire come si faccia a calcolare.

eccerto, perchè la funzione per $x\ge0$ dipende da $k;$ quindi imponendo che il limite destro e sinistro , cioè per $x\to0^+$ e per $x\to 0^-$ siano uguali, trovi il $k$ per cui questa condizione si verifica, di conseguenza sono verificate le ipotesi del toerema degli zeri perchè $f$ risulta continua e hai concluso!

[catux1]

Quindi bisogna fare in questo modo:
$lim_(x->0+)log(k+x)$ $=$ $log(k)$
$lim_(x->0-)e^x-1$ $=$ $lim_(x->0-)x$ $= 0-$

$log(k)=0$ $rArr$ $k=1$

$lim_(x->0+)log(1+x)$ $=$ $lim_(x->0+)x$ $= 0+$
$lim_(x->0-)e^x-1$ $=$ $lim_(x->0-)x$ $= 0-$
$lim_(x->0)log(1+x)$ $=$ $lim_(x->0)x$ $= 0$

Da qui possiamo concludere che la funzione $f(x)$ è continua in $x=0$.
In questo modo bisogna svolgere il 1° punto dell'esercizio o c'è qualche errore?

[Noisemaker]

[catux1]

ok un'ultima cosa. Il fatto di porre :

$lim_(x->0+)log(k+x)$ $=$ $log(k)$
$lim_(x->0-)e^x-1$ $=$ $lim_(x->0-)x$ $= 0-$

è giustificato dal fatto che, affinché sia applicabile il teorema degli zeri, è necessario che la funzione sia continua in $x=0$. Per verificare ciò è necessario calcolare il limite destro e sinistro della $f(x)$. Per affermare che la funzione in $x=0$ sia continua, è necessario che l limite destro e sinistro della $f(x)$ siano uguali. Da qui spiegata l'uguaglianza che segue:

$log(k)=0$ $rArr$ $k=1$

è corretto?

[Kashaman]

a mio parere è corretto

[catux1]

va bene, mi fido grazie per avermi risposto...