Teorema degli incrementi finiti in Rn
Ciao a tutti, a breve avrò l'orale di analisi 2 e ho un dubbio su una argomento molto papabile: il teorema degli incrementi finiti per funzioni vettoriali. Tra le ipotesi del teorema bisogna supporre che il dominio della funzione sia convesso. Qualcuno sa spiegarmi il perché? Grazie
Risposte
Ti riferisci al teorema di Cauchy?
Siano $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ due funzioni continue su $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$.
Allora esiste almeno un punto $x0$ interno ad $(a,b)$,
tale che $[f(b)-f(a)]g'(x_{0})=f'(x_{0})[g(b)-g(a)]$.
Siano $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ due funzioni continue su $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$.
Allora esiste almeno un punto $x0$ interno ad $(a,b)$,
tale che $[f(b)-f(a)]g'(x_{0})=f'(x_{0})[g(b)-g(a)]$.
L'ipotesi di convessità è un'ipotesi comoda. In realtà basterebbe meno, nella versione che conosco io.
Se riporti l'enunciato a cui fai riferimento è meglio.
Se riporti l'enunciato a cui fai riferimento è meglio.
Il teorema a cui mi riferisco è:
Sia A aperto convesso di $ R^n, f:A->R^m $ differenziabile. Se l'insieme delle derivate parziali è limitato, allora esiste C costante reale positiva, tale che, per ogni x,y di A, risulti
$ ||f(x)-f(y)||<= C||x-y|| $
Il mio libro dice che l'ipotesi che A sia convesso è essenziale, perché altrimenti potrebbe non essere verificata la disuguaglianza, perché C è una costante che dipende dalle derivate parziali e non da x e y.
Infatti la disuguaglianza che ho scritto deriva dal teorema del valor medio per funzioni reali a più variabili. In pratica l'equazione del teorema del valor medio sarebbe
$ f(b)-f(a)=gradf(c)\cdot (b-a) $
A cui si applica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, per ottenere la disuguaglianza in questione
Sia A aperto convesso di $ R^n, f:A->R^m $ differenziabile. Se l'insieme delle derivate parziali è limitato, allora esiste C costante reale positiva, tale che, per ogni x,y di A, risulti
$ ||f(x)-f(y)||<= C||x-y|| $
Il mio libro dice che l'ipotesi che A sia convesso è essenziale, perché altrimenti potrebbe non essere verificata la disuguaglianza, perché C è una costante che dipende dalle derivate parziali e non da x e y.
Infatti la disuguaglianza che ho scritto deriva dal teorema del valor medio per funzioni reali a più variabili. In pratica l'equazione del teorema del valor medio sarebbe
$ f(b)-f(a)=gradf(c)\cdot (b-a) $
A cui si applica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, per ottenere la disuguaglianza in questione
Ecco, la tua versione è un po' diversa.
La convessità serve, presumo, nella dimostrazione del teorema del valor medio per funzioni di più variabili, in cui si usa il teorema di Lagrange applicato a $g(t) = f(a + t(b - a))$ per $t \in [0,1]$, dove $x(t) = a + t(b - a)$ è una parametrizzazione del segmento $[a,b] \subset A \subset \mathbb{R}^n$.
Mi sbaglio?
La convessità serve, presumo, nella dimostrazione del teorema del valor medio per funzioni di più variabili, in cui si usa il teorema di Lagrange applicato a $g(t) = f(a + t(b - a))$ per $t \in [0,1]$, dove $x(t) = a + t(b - a)$ è una parametrizzazione del segmento $[a,b] \subset A \subset \mathbb{R}^n$.
Mi sbaglio?
Ciao Seneca, è giusto quello che hai detto, però volevo sapere concettualmente perché la disuguaglianza potrebbe non sussistere più in insiemi non convessi. Il mio libro dice qualcosa a proposito del fatto che, in insiemi non convessi potrebbe essere più lungo di un segmento il percorso tra x e y, però non è una gran spiegazione
"Seneca":
La convessità serve, presumo, nella dimostrazione del teorema del valor medio per funzioni di più variabili, in cui si usa il teorema di Lagrange applicato a $g(t) = f(a + t(b - a))$ per $t \in [0,1]$, dove $x(t) = a + t(b - a)$ è una parametrizzazione del segmento $[a,b] \subset A \subset \mathbb{R}^n$.
Presi $a, b \in A$, per poter usare Lagrange è necessario che il segmento $[a,b]$ sia contenuto nell'aperto $A$. Altrimenti ci saranno alcuni valori di $t \in [0,1]$ per cui $g(t)$ non è ben definita, che sono precisamente i valori di $t$ per cui $a + t ( b - a) \notin A$. La convessità ti dà la garanzia che, presi $a, b \in A$ qualsiasi, $a + t ( b - a) \in A$, $\forall t \in [0,1]$.
Si ma l'esistenza della funzione g è uno stratagemma per la dimostrazione, io volevo sapere perché non vale la disuguaglianza se tra x e y il segmento non è contenuto nel dominio e la costante C dipende dalle derivate parziali
Ecco una vecchia discussione proprio su questo argomento:
viewtopic.php?p=228778#p228778
Include un esempio che mostra come il teorema possa fallire su domini non convessi.
viewtopic.php?p=228778#p228778
Include un esempio che mostra come il teorema possa fallire su domini non convessi.
Purtroppo non riesco a leggere il primo post di vicious goblin, non capisco quello che c'è scritto, forse è il mio pc
No è solo che si tratta di un messaggio vecchio e nel frattempo è cambiato il compilatore delle formule. Ho segnalato il problema ai moderatori.
Per la serie "per un dollaro in più", dovrebbe essere cosi:
In bocca al lupo.
"ViciousGoblin":
Temo sia falso per motivi di natura geometrica. Cerco di spiegarmi (se ho tempo provero' poi a fabbricare un controesempio).
Se $\Omega$ fosse convesso l'enunciato sarebbe vero e per dimostrarlo si prenderebbe il segmento che congiunge $x$ a $y$,
parametrizzato per esempio con una $\gamma:[0,1]\to\Omega$ e si applicherebbe Lagrange unidimensionale (in partenza)
a $f\circ\gamma$ su $[0.1]$.
Se $\Omega$ non è convesso (ma è connesso), dati $x$ e $y$ in $\Omega$ puoi sempre trovare una curva $\gamma$ che li congiunge e
applicare Lagrange a $f\circ\gamma$; facendo i conti trovi
$||f(x)-f(y)||\leq M * "lunghezza"(\gamma) $
Purtroppo la lunghezza di $\gamma$ non è maggiorata da $||x-y||$, come avviene nel caso convesseo - puoi avere punti vicini tra loro
come norma ma tali che per andare dall'uno all'altro in $\Omega$ devi fare una strada lunghissima.
La tesi è vera se al posto di $||x-y||$ prendi la "distanza geodetica", cioè l'estremo inferiore delle lunghezze delle curve in $\Omega$ congiungenti
$x$ e $y$
Spero di aver reso l'idea
In bocca al lupo.
Va bene grazie, crepi il lupo
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