Teorema De L' Hospital

[davicos]

Salve a tutti,

circa questo esercizio: $ lim_(x -> 1) (1+lnx-e^(x-1))/((x-1)^2) $

Il libro chiede di risolverlo, se opportuno, anche con il teorema testé citato. Io ho risolto così:

$ lim_(x -> 1) (1+lnx-e^(0))/((x-1)^2)=lim_(x -> 1)lnx/(x-1)^2=lim_(x -> 1)(x-1)/(x-1)^2= $
$ =lim_(x -> 1)1/(x-1)^2rarr +\infty $

Il teorema va utilizzato se vi è una forma indeterminata ma con le stime asintotiche questa indeterminazione l'ho eliminata, ma il libro utilizza subito il teorema e viene $-1$.

Cos'è che sbaglio?

Grazie.

[Raptorista1]

Non puoi eliminare \(1-e^{x-1}\) tirandolo via dal limite in questo modo. Perché hai passato al limite nell'esponenziale e non nel logaritmo allora? Che discriminazione è questa??

[davicos]

Una volta ho chiesto se si potesse eseguire la sostituzione solo ai termini che non "danno fastidio" come in questo caso circa l'esponenziale e mi hanno risposto affermativamente. Quindi in definitiva come si dovrebbe procedere?

Grazie.

[Resilienza1]

Il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti di numeratore e denominatore, il limite di una somma è la somma dei limiti degli addendi. Nel tuo caso, volendo proseguire come hai fatto, avresti dovuto considerare che $ (1 + lnx - e^(x-1))/(x-1)^2 = (1-e^(x-1))/(x-1)^2 + lnx/(x-1)^2$ calcolando i limiti del primo addendo e del secondo separatamente.

Comunque ti accorgi subito che ottieni sempre la forma indeterminata $0/0$ e che hai bisogno di De L'Hopital. Devi quindi calcolare il limite della derivata del numeratore diviso la derivata del denominatore, continuando a derivare e a calcolare il limite sinché non trovi un risultato accettabile.

La soluzione del tuo libro è corretta.

[davicos]

Bene grazie mille!

[donald_zeka]

Una volta ho chiesto se si potesse eseguire la sostituzione solo ai termini che non "danno fastidio" come in questo caso circa l'esponenziale e mi hanno risposto affermativamente. Quindi in definitiva come si dovrebbe procedere?

Questo non è un caso che "non dà fastidio", il numeratore è una somma tra tre addendi, non puoi sostituire il valore della x solo a uno di essi, un esempio di caso che non dà fastidio è, per esempio, se al denominatore avessi avuto $(x-1)^2(x-2)$, si vede chiaramente che il fattore x-2 non crea alcun fastidio nel limite per x->1 quindi puoi sostituire x=1 e x-2 ti diventa -1 il quale moltiplica tutto il resto del limite, che rimane ancora una forma indeterminata dato che appunto la sostituizione è stata fatta su un termine moltiplicativo che non dà fastidio.

viewtopic.php?f=36&t=164281&p=8226204#p8226204

[davicos]

Me la ricordo questa. Il pezzo che non ho considerato è appunto ciò che hai scritto adesso. In definitiva il termine che non dà fastidio è quello che se sommato ( moltiplicato) al resto non mi crea nessun problema. Ho capito, grazie ancora!