Teorema - Convergenza successione di Cauchy

[Johnny30]

Salve! Vi propongo una dimostrazione del seguente teorema

Teorema
Una successione di numeri reali $(a_n)$ è convergente se e solo se verifica la condizione di Cauchy.

===============================================

Mi interessa capire se la dimostrazione è valida oppure no.

===============================================

Dimostrazione
La condizione è necessaria: se infatti $\lambda$ è il limite della successione allora per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\bar n$ tale che

$|a_n - \lambda| < \epsilon$ per ogni $n > \bar n$.

Si conclude così che se $m, n > \bar n$ si ha anche

$|a_m - a_n|=|(a_m - \lambda) + (\lambda - a_n)| <= |a_m - \lambda| + |\lambda - a_n| < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon $

onde il risultato.

La condizione è poi sufficiente: se infatti $(a_n)$ è una successione di Cauchy allora possiamo definire per induzione una successione di interi $(n_k)$ nel modo seguente: $n_1 = 1$ e $n_{k+1}$ è il più piccolo intero $> n_k$ tale che se $m, n > n_{k+1}$, si ha: $|a_m - a_n| < 2^{-k-2}$. Sia adesso $I_k$ l'intervallo chiuso $[a_{n_k} - 2^{-k}, a_{n_k} + 2^{-k}]$: si ha $I_{k+1} sub I_k$ poiché $|a_{n_k} - a_{n_{k+1}}| < 2^{-k-1}$ e d'altra parte per $n > n_k$ si ha $a_n in I_k$ per definizione. Ora però è chiaro che $nnn_{k = 1}^{oo} I_k = {\lambda}$, dove

$\lambda = underset("k")("sup") (a_{n_k} - 2^{-k}) = underset("k")("inf") (a_{n_k} + 2^{-k})$,

cioé a dire $\lambda in I_k$ per ogni $k$, e quindi in particolare:

$|a_n - \lambda| < 2^{-k -1}$ per ogni $n > n_k$.

Da qui si deduce subito che $\lambda$ è il limite della successione, onde il risultato.

[otta96]

Si va benissimo.

[Johnny30]

"otta96":Si va benissimo.

Scusami ma c’è qualcosa che non mi è chiaro.

Nella parte dove si afferma:

—————————————————————————————————————————————————————————
Sia adesso $I_k$ l’intervallo chiuso $[a_{n_k} - 2^{-k}, a_{n_k} + 2^{-k}]$: si ha $I_{k+1} sub I_k$ poiché $|a_{n_k} - a_{n_{k+1}}|< 2^{-k-1}$
—————————————————————————————————————————————————————————

nell’ultima disuguaglianza non dovrebbe essere $< 2^{-k-2}$ ?

[otta96]

No, va bene così, perchè se un punto sta in $I_(k+1)$ dista da $a_(n_(k+1))$ meno di $2^(-k-1)$, e dato che quello a sua volta dista da $a_(n_k)$ meno della stessa quantità, il punto apparterrà a $I_k$.

[Johnny30]

Prendiamo come successione la seguente:

$a_n = 1/n$

Calcoliamo gli intervalli $I_1$ e $I_2$ usando la condizione $|a_m - a_n| < 2^{-(k+2)}$

1. $I_1$:
Consideriamo $n_1 = 1$ come il primo termine della sotto-successione. Quindi, $a_{n_1} = a_1 = 1$. L'intervallo $I_1$ sarà chiuso tra $a_{n_1} - 2^{-1-2}$ e $a_{n_1} + 2^{-1-2}$:
$I_1 = [1 - 2^{-3}, 1 + 2^{-3}] = [0.875, 1.125]$.

2. $I_2$:
Calcoliamo $n_2$ come il più piccolo intero maggiore di $n_1$ tale che $|a_m - a_n| < 2^{-2-2}$ per $m, n > n_2$. Nel nostro caso, $n_2 =$ sarà uguale a ?

[otta96]

$3$ direi.

[Johnny30]

Io farei così:

$n_{k+1} = 2^{k+2}-1$

quindi:

k	$n_{k+1}$	Estremo inf.	Estremo sup
7	-0,357142857	0,642857143	2
-0,183333333	0,316666667	3	31

naturalmente Estremo inf ($I_2$) = $1/7 - 2^{-1} = -0,357142857$ e Estremo sup ($I_2$) = $1/7 + 2^{-1} = +0,642857143$ e cosi via.

$\lambda = 0$

Quindi il post precedente non è più valido.