Teorema convergenza dominata e spazi di Sobolev
Ciao a tutti! Dovrei dimostrare che data la successione di funzioni $(u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in W^{1,2}(0,1)$ tale che $u_n\to u$ in $W^{1,2}(0,1)$, $u \in W^{1,2}(0,1)$ allora
\( \lim _{n\to +\infty} \int_0^1f'(u_n(t))u_n'(t) dt \ \ \to \ \ \int_0^1f'(u(t))u'(t)dt \)
dove $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, $f \in C^2(\mathbb{R})$.
IL professore lo ha dimostrato utilizzando il teorema della convergenza dominata, ma c'è un passaggio che non capisco a pieno. Per fare la maggiorazione del termine $|u'_n(t)|$ lui utilizza il fatto che $u_n\to u$ in $W^{1,2}(0,1)$ implica $u'_n\to u'$ in $L^2(0,1)$, che a sua volta implica l'esistenza di una sottosuccessione di $u_n$ e di una funzione $g \in L^2(0,1)$ tale che $u_{n_k}\to u$ quasi ovunque e $|u_{n_k}(t)|\leq g(t)$. Si ha inoltre che $|f'(u_n(t))|\leq M$ per una certa M perché $f'$ continuo e $u_n\to u$ in $C^0([0,1])$ e quindi si può applicare il teorema della convergenza dominata. Il mio dubbio è pero il seguente: il risultato che ottengo è valido per concludere? non sto guardando il limite solo lungo una sottosuccessione?
Grazie in anticipo!
\( \lim _{n\to +\infty} \int_0^1f'(u_n(t))u_n'(t) dt \ \ \to \ \ \int_0^1f'(u(t))u'(t)dt \)
dove $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, $f \in C^2(\mathbb{R})$.
IL professore lo ha dimostrato utilizzando il teorema della convergenza dominata, ma c'è un passaggio che non capisco a pieno. Per fare la maggiorazione del termine $|u'_n(t)|$ lui utilizza il fatto che $u_n\to u$ in $W^{1,2}(0,1)$ implica $u'_n\to u'$ in $L^2(0,1)$, che a sua volta implica l'esistenza di una sottosuccessione di $u_n$ e di una funzione $g \in L^2(0,1)$ tale che $u_{n_k}\to u$ quasi ovunque e $|u_{n_k}(t)|\leq g(t)$. Si ha inoltre che $|f'(u_n(t))|\leq M$ per una certa M perché $f'$ continuo e $u_n\to u$ in $C^0([0,1])$ e quindi si può applicare il teorema della convergenza dominata. Il mio dubbio è pero il seguente: il risultato che ottengo è valido per concludere? non sto guardando il limite solo lungo una sottosuccessione?
Grazie in anticipo!
Risposte
In queste cose si usa spesso un lemmino facile ma utilissimo: se \(x_n\) è una successione e \(x\) un punto di uno spazio topologico, e se ogni estratta di \(x_n\) contiene una estratta convergente ad \(x\), allora tutta la successione converge ad \(x\). Dimostrazione: per assurdo, se \(x_n\) non convergesse ad \(x\), esisterebbe un intorno di \(x\) tale che \(x_n\) NON è nell'intorno per infiniti indici. Si potrebbe quindi costruire una estratta che non è mai in questo intorno, e che però dovrebbe avere a sua volta una estratta che converge ad \(x\). Questa è una contraddizione.
ok grazie mille! Lo avevo pensato però ero entrato in dubbio perché mi sembrava che con questo lemma potessi dimostrare che la convergenza in $L^2$ implica la convergenza quasi ovunque. Il fatto che questo non fornisce un controesempio è dato dal fatto che la convergenza quasi ovunque non è indotta da nessuna topologia?
Non mi sembra che c'entri molto questo. Tu stai ragionando sulla convergenza della successione di numeri reali \(\int_0^1 f'(u_n(t))u'_n(t)\,dt\). Lo spazio topologico in cui ti metti è quindi \(\mathbb{R}\).
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