Teorema continuità componente per componente

[anto84gr-votailprof]

Ciao ragazzi sono nuova di questo sito e mi serve una mano molto urgentemente!!!!!!!
Devo sostenere l'esame di Analisi 2 e c'è un teorema di cui non capisco la dimostrazione.
Questo teorema si chiama teorema di continuità componente per componente e dice che il limite di una funzione è l sse il limite delle componenti fi è li.
Ho una dimostrazione ma non capisco niente!!!!!!
Potete aiutarmi?

Grazie mille
Rispondete in tanti

[gugo82]

Basta tenere presente che valgono le relazioni:

$|f_i(x)-l_i|<= ||f(x)-l|| \quad$, per ogni $i=1,\ldots ,n$
$||f(x)-l||<=\sum_(j=1)^n|f_j(x)-l_j|$

Se riesci a rendere piccola $||f(x)-l||$, per la prima relazione puoi rendere piccoli tutti i valori assoluti $|f_1(x)-l_1|,\ldots ,|f_n(x)-l_n|$; viceversa, se riesci a rendere piccoli tutti i valori assoluti $|f_1(x)-l|,\ldots ,|f_n(x)-l|$, per la seconda relazione puoi rendere piccola $||f(x)-l||$.