Teorema Conservazione della Compattezza (dim)

[Biagio2580]

Ciao ragazzi , sto studiando il Teorema di Conservazione della Compattezza , l'enunciato è il seguente:

Se:
1)$A$ è compatto
2)$f$ continua in $A$

$ rArr $ $f(A)$ è un compatto

A questo punto però viene fatta la dimostrazione utilizzando la compattezza per successioni , ed onestamente non la capisco , qualcuno potrebbe spiegarmela ?

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

Della questione si è già discusso ampiamente in questo thread.

[Biagio2580]

Quello era per capire se le funzioni discontinue mandassero i compatti in compatti , era un'osservazione , qui proprio si parla di dimostrazione con le successioni

[otta96]

Cos'è che non capisci della dimostrazione?

[Biagio2580]

Non capisco proprio l'utilizzo delle successioni per dimostrare il teorema , e il significato

[otta96]

E dove l'hai trovata queseta dimostrazione? Non lo spiega perchè fa così?

[Biagio2580]

Si ma non la capisco , ora la scrivo

[Biagio2580]

$f(A)$ è compatto $ harr $ $f(A)$ è compatto per successioni $ harr $ $ AA (y_n) sub f(A), EE (y_(k_n)): y_(k_n)-> y in f(A)$

Per la 1' Ipotesi: $A$ è compatto $harr$ Compatto per successioni $harr$ $AA(x_n)_n sub A , EE (x_(k_n))_n:x_(k_n)->x in A$
$ rarr $ In corrispondenza alla successione $(x_n)_n$ determinata: $EE(x_(k_n)): x_(k_n) rarr x in A$


Per la 2^Ipotesi f è continua $harr$ Continua per successioni $harr$ $AA(x_n) sub A $ con $x_n rarr x, rarr f(x_n) rarr f(x)$,
se $x_(k_n) rarr x$, allora $f(x_(k_n))rarr(x)$
Poniamo $f(x_(k_n))=y_(k_n)$
$f(x)=y$
Fissata una generica $(y_n)_n in f(A)$, abbiamo trovato una sottosuccessione $y_(k_n)=f(x_(k_n))in f(A),
y_(k_n) rarr y in f(A)$

[otta96]

Ma ha già dimostrato che compattezza e compattezza per successioni sono equivalenti? Perchè sta usando questa cosa qui.

[Biagio2580]

No , qui viene dimostrata l'una con l'utilizzo dell'altra

[otta96]

Perchè sono equivalenti.

[Biagio2580]

E ok , ma potresti spiegarmi il significato di questa dimostrazione?

[otta96]

Funziona così: vuoi dimostrare che $f(A)$ è compatto, quindi basta dimostrare che è compatto per successioni, allora ci prendi una successione $y_n$, per la quale esisterà una successione $x_n\inA$ tale che $f(x_n)=y_n$, dato che $A$ è compatto lo è anche per sucessioni e quindi esiste una sottosuccessione convergente $x_(n_k)$ che tende a un punto $x$, allora per la continuità di $f$, $\lim_(k\to+\infty)y_(n_k)=\lim_(k\to+\infty)f(x_(n_k))=f(\lim_(k\to+\infty)x_(n_k))=f(x)$. Quindi anche $y_n$ ha una successione convergente, e dunque $f(A)$ è compatto per successioni.

[Biagio2580]

Grazie mille Otta