Teorema classificazione punti critici
Sto studiando un teorema che enuncia le condizioni sufficienti affinchè un punto critico sia di massimo, di minimo o di sella, è l'ultima dimostrazione del programma che devo sapere per l'esame, quindi sarà per la stanchezza o per le troppe ore di studio, ma inizio a disperarmi perchè non ne capisco la dimostrazione 
il teorema è il seguente:
HP:
sia $f:A sube RR^n rarr RR $, $f in C^2(A)$
sia $barx in A$ punto critico per $f$ (cioè $nablaf(barx)=vec0$)
TH:
a) se $H=Hf(barx)$ è definita positiva (detti $lambda_i$ i suoi autovalori, $lambda_i >0, AAi$), allora $barx$ è punto di minimo locale
b) se $H=Hf(barx)$ è definita negativa (detti $lambda_i$ i suoi autovalori, $lambda_i <0, AAi$), allora $barx$ è punto di massimo locale
c) se $H=Hf(barx)$ è indefinita (detti $lambda_i$ i suoi autovalori, $EE lambda_i >0 $$ ^^ $$ EE lambda_i<0, AAi$), allora $barx$ è punto di sella
dim:
a) l'idea su cui si basa la dimostrazione è che per $||barh||$ "piccola" (con $barh in RR^n$), $f(barx +barh)-f(barx)>=0$ (??perchè??)
usando la formula di Taylor con il resto di Peano si ha che
$f(barx +barh)-f(barx)= 1/2 + o(||barh||^2)$
per la proprietà:
"sia $H$ matrice simmetrica reale $n xx n$
sia $Q(barh)=$ la forma quadratica associata ad $H$
siano $lambda_min$ e $lambda_max$ rispettivamente l'autovalore minore e maggiore associati ad H,
allora si ha: $lambda_min ||barh||^2 <= <= lambda_max ||barh||^2$ "
si ha che
$ 1/2 + o(||barh||^2) <= lambda/2 ||barh||^2 + o(||barh||^2) $
raccolgo $||barh||^2$ e ottengo
$lambda/2 ||barh||^2 + o(||barh||^2) = ||barh||^2 (lambda/2 + (o(||barh||^2))/(||barh||^2))
so che $EE delta>0$ tale che $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)|< (lambda_min)/4$ per $barh in RR^n$ con $||barh||
e dato che $||h||^2((lambda_min)/4)$ è certamente una quantità maggiore di zero e che $f(barx+barh)-f(barx) >= ||h||^2((lambda_min)/4)$ allora
$f(barx+barh)-f(barx) >= 0$ e quindi $barx$ è punto di minimo locale. c.v.d.
ricapitolando: non ho capito i seguenti passaggi:
1) perchè per dimostrare che $barx$ è punto di minimo locale per $f$ bisogna mostrare che l'incremento $f(barx+barh)-f(barx)>=0$?
(intuitivamente, potrebbe essere perchè allontanandoci da $barx$ se l'incremento è positivo, "siamo in salita sulla funzione" e quindi vuol dire che $barx$ era un punto di minimo??)
2) non ho proprio capito il passaggio $EE delta>0$ tale che $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)|< (lambda_min)/4$ per $barh in RR^n$ con $||barh||0$ tale che $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)|< (lambda_min)/4$?? cosa significa?
(potrebbe essere che visto che facciamo tendere $barh$ a $0$, allora in teoria $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)| =0$ e quindi si trova in un intervallo simmetrico $-(lambda_min)/4, +(lambda_min)/4$? ma se così fosse perchè prendere prprio $(lambda_min)/4$?)
grazie in anticipo,
ho cercato ovunque su internet ma non ho trovato niente di utile e sul mio libro liquida questa dimostrazione in 2 righe dando un sacco di cose per scontato...
il teorema è il seguente:
HP:
sia $f:A sube RR^n rarr RR $, $f in C^2(A)$
sia $barx in A$ punto critico per $f$ (cioè $nablaf(barx)=vec0$)
TH:
a) se $H=Hf(barx)$ è definita positiva (detti $lambda_i$ i suoi autovalori, $lambda_i >0, AAi$), allora $barx$ è punto di minimo locale
b) se $H=Hf(barx)$ è definita negativa (detti $lambda_i$ i suoi autovalori, $lambda_i <0, AAi$), allora $barx$ è punto di massimo locale
c) se $H=Hf(barx)$ è indefinita (detti $lambda_i$ i suoi autovalori, $EE lambda_i >0 $$ ^^ $$ EE lambda_i<0, AAi$), allora $barx$ è punto di sella
dim:
a) l'idea su cui si basa la dimostrazione è che per $||barh||$ "piccola" (con $barh in RR^n$), $f(barx +barh)-f(barx)>=0$ (??perchè??)
usando la formula di Taylor con il resto di Peano si ha che
$f(barx +barh)-f(barx)= 1/2
per la proprietà:
"sia $H$ matrice simmetrica reale $n xx n$
sia $Q(barh)=
siano $lambda_min$ e $lambda_max$ rispettivamente l'autovalore minore e maggiore associati ad H,
allora si ha: $lambda_min ||barh||^2 <=
si ha che
$ 1/2
raccolgo $||barh||^2$ e ottengo
$lambda/2 ||barh||^2 + o(||barh||^2) = ||barh||^2 (lambda/2 + (o(||barh||^2))/(||barh||^2))
so che $EE delta>0$ tale che $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)|< (lambda_min)/4$ per $barh in RR^n$ con $||barh||
e dato che $||h||^2((lambda_min)/4)$ è certamente una quantità maggiore di zero e che $f(barx+barh)-f(barx) >= ||h||^2((lambda_min)/4)$ allora
$f(barx+barh)-f(barx) >= 0$ e quindi $barx$ è punto di minimo locale. c.v.d.
ricapitolando: non ho capito i seguenti passaggi:
1) perchè per dimostrare che $barx$ è punto di minimo locale per $f$ bisogna mostrare che l'incremento $f(barx+barh)-f(barx)>=0$?
(intuitivamente, potrebbe essere perchè allontanandoci da $barx$ se l'incremento è positivo, "siamo in salita sulla funzione" e quindi vuol dire che $barx$ era un punto di minimo??)
2) non ho proprio capito il passaggio $EE delta>0$ tale che $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)|< (lambda_min)/4$ per $barh in RR^n$ con $||barh||
(potrebbe essere che visto che facciamo tendere $barh$ a $0$, allora in teoria $|(o(||barh||^2))/(||barh||^2)| =0$ e quindi si trova in un intervallo simmetrico $-(lambda_min)/4, +(lambda_min)/4$? ma se così fosse perchè prendere prprio $(lambda_min)/4$?)
grazie in anticipo,
ho cercato ovunque su internet ma non ho trovato niente di utile e sul mio libro liquida questa dimostrazione in 2 righe dando un sacco di cose per scontato...
Risposte
non puoi più semplicemente dire $o(||h^2||) = o(1)*||h^2||$?
ti faccio notare che $\lim_{|h| \to 0} (o(|h^2|)) / (|h^2|) = 0 <=> o(|h^2|) = o(1)*|h^2|$, infatti $\lim_{|h| \to 0} (o(1)*|h^2|) / (|h^2|) = 0 $. ovvero per definizione $o(1)*|h^2|$ è un o-piccolo di $|h^2|$. il tuo prof è elastico in sede di esame o vuole la dimostrazione esattamente come te l'ha spiegata?
[edit] mi sono scordato di aggiungere che la tua osservazione al punto 1) (con la disuguaglianza in senso stretto però) va bene
ti faccio notare che $\lim_{|h| \to 0} (o(|h^2|)) / (|h^2|) = 0 <=> o(|h^2|) = o(1)*|h^2|$, infatti $\lim_{|h| \to 0} (o(1)*|h^2|) / (|h^2|) = 0 $. ovvero per definizione $o(1)*|h^2|$ è un o-piccolo di $|h^2|$. il tuo prof è elastico in sede di esame o vuole la dimostrazione esattamente come te l'ha spiegata?
[edit] mi sono scordato di aggiungere che la tua osservazione al punto 1) (con la disuguaglianza in senso stretto però) va bene
No, il mio professore è abbastanza elastico, quello che mi interessa è capire la dimostrazione più che capire LA SUA dimostrazione...
allora è semplice: l'autovalore più piccolo, se la forma quadratica è definita positiva, è strettamente maggiore di 0. quindi i passaggi da seguire sono questi:
$ f(x) = f(x_0) + 1/2 + o(||x - x_0||^2) $
$ f(x) >= f(x_0) + 1/2 \lambda_{min} ||x-x_0||^2 + o(||x - x_0||^2) $
$ f(x) >= f(x_0) + (1/2 \lambda_{min}+ o(1)) \ ||x-x_0||^2 $
la quantità $(1/2 \lambda_{min}+ o(1)) \ ||x-x_0||^2$ è positiva, quindi deduci che $f(x) > f(x_0)$ nel'intorno di $x_0$.
fammi sapere se qualcosa non ti torna
$ f(x) = f(x_0) + 1/2
$ f(x) >= f(x_0) + 1/2 \lambda_{min} ||x-x_0||^2 + o(||x - x_0||^2) $
$ f(x) >= f(x_0) + (1/2 \lambda_{min}+ o(1)) \ ||x-x_0||^2 $
la quantità $(1/2 \lambda_{min}+ o(1)) \ ||x-x_0||^2$ è positiva, quindi deduci che $f(x) > f(x_0)$ nel'intorno di $x_0$.
fammi sapere se qualcosa non ti torna
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