Teorema che lega convergenza uniforme e differenziabilità
Ciao a tutti, ho un chiarimento da chiedere riguardo al seguente teorema:
Sia $f_n : [0,1]\to\mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili. Supponiamo che
i) Esista $x_0 \in [0,1]$ tale che la successione $(f_n (x_0))$ converge
ii) La successione di funzioni $(f'_n)_n$ converge uniformemente ad una funzione $g: [0,1] \to \mathbb{R}$.
Allora la successione di funzioni $(f_n)_n$ converge uniformemente su $[0,1]$ ad una funzione $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, $f$ è derivabile ed $f'(x) = g(x)$ per ogni $x\in [0,1]$.
Il mio dubbio è: se so già che $(f_n)_n$ converge uniformemente su [0,1] ad una funzione $f:[0,1]\mathbb{R}$ derivabile, allora posso dire che La successione di funzioni $(f'_n)_n$ converge uniformemente ad una funzione $g: [0,1] \to \mathbb{R}$ con $g(x) = f'(x)$ per ogni $x\in [0,1]$?
Sia $f_n : [0,1]\to\mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili. Supponiamo che
i) Esista $x_0 \in [0,1]$ tale che la successione $(f_n (x_0))$ converge
ii) La successione di funzioni $(f'_n)_n$ converge uniformemente ad una funzione $g: [0,1] \to \mathbb{R}$.
Allora la successione di funzioni $(f_n)_n$ converge uniformemente su $[0,1]$ ad una funzione $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, $f$ è derivabile ed $f'(x) = g(x)$ per ogni $x\in [0,1]$.
Il mio dubbio è: se so già che $(f_n)_n$ converge uniformemente su [0,1] ad una funzione $f:[0,1]\mathbb{R}$ derivabile, allora posso dire che La successione di funzioni $(f'_n)_n$ converge uniformemente ad una funzione $g: [0,1] \to \mathbb{R}$ con $g(x) = f'(x)$ per ogni $x\in [0,1]$?
Risposte
"shot22":
Il mio dubbio è: se so già che $(f_n)_n$ converge uniformemente su [0,1] ad una funzione $f:[0,1]\mathbb{R}$ derivabile, allora posso dire che La successione di funzioni $(f'_n)_n$ converge uniformemente ad una funzione $g: [0,1] \to \mathbb{R}$ con $g(x) = f'(x)$ per ogni $x\in [0,1]$?
In generale no.
Ad esempio, la successione \(f_n(x) := \frac{\sin (nx)}{n}\) converge uniformemente alla funzione identicamente nulla, ma la successione delle derivate \(f_n'(x) = \cos(nx)\) non converge nemmeno puntualmente.
Grazie mille. Quindi se per esempio mi danno da studiare una serie di funzioni $\sum f_n$ e poi mi dicono di studiare la successione di funzioni $(f'_n)_n$, studiando prima la convergenza uniforme della serie non posso dire niente su quella della successione delle derivate, giusto? Voglio dire, è come se fossero due esercizi indipendenti
"shot22":
Grazie mille. Quindi se per esempio mi danno da studiare una serie di funzioni $\sum f_n$ e poi mi dicono di studiare la successione di funzioni $(f'_n)_n$, studiando prima la convergenza uniforme della serie non posso dire niente su quella della successione delle derivate, giusto? Voglio dire, è come se fossero due esercizi indipendenti
Diciamo di sì.
Su un intervallo limitato, comunque, la convergenza uniforme della successione è condizione necessaria per avere la convergenza uniforme delle derivate.
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