Teorema Cauchy

[Erika_90]

Per stabilire il carattere di questa serie cosa si intende? e K deve essere sostituito con 1?

[4mrkv]

Diverge, converge, oscilla? \(k\) va sostituito con i numeri naturali e tutti i termini vanno sommati. Visto che hai verificato il criterio di Cauchy, prova ad applicarlo.
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...
\]

[Erika_90]

Come si fa a vedere se diverge, oscilla o converge?

[4mrkv]

Se una successione è di Cauchy allora converge. Se una successione non è di Cauchy quindi non può convergere. E' una proprietà che non tutti gli spazi hanno. La tua successione qui è quella delle somme parziali della serie:
\[
\begin{split}
s_{1}&=a_{1} \\
s_{2}&=a_{1}+a_{2} \\
\vdots \\
s_{n}&=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \\
\vdots
\end{split}
\]
Così il limite di \(s_{n}\) è il risultato della sommatoria. Verifica la condizione precedente su \(s_{n}\): per ogni \(\epsilon>0\) esiste \(\overline{n}\in \mathbb{N}\) t.c. \(|s_{n}-s_{m}|=|a_{m+1}+...+a_{n}|<\epsilon\) per ogni \(n,m>\overline{n}\). Indebolendo la condizione con \(n=m+1\) ti rimane \(|a_{n}|<\epsilon\) che è la definizione del limite per \(a_{n}\rightarrow 0\) (e se non vale, di certo \(\Sigma\) non converge).

[Erika_90]

Quindi dopo aver detto che la successione converge, devo verificare il limite, ma qui mi blocco, non riesco a farlo!

[Zurzaza]

Beh devi verificare che:
$\lim_{k\to\infty}(\frac{k+1}{k})^{-k^{2}}=0$

Vedilo così:
$\lim_{k\to\infty}((1+\frac{1}{k})^{k})^{-k}=\lim_{k\to\infty}e^{-k}=0$

Poi dimostri che la serie converge

[rino6999]

mi sembra arduo in questo caso calcolare $s_k$ o anche maggiorarla
il problema diventa semplice se invece si applica il criterio della radice
$lim_{k \to +infty} root(k)(((k+1) / (k))^(-k^2 )$$=lim_{k \to +infty}(1+1/k)^{-k}=1/e<1$
la serie converge