Teorema cambio di variabile

[zerbo1000]

ragazzi perchè nel teorema del cambio di variabile dei limiti

la seconda ipotesi, dopo lim f(x)=z lim g(z)=y

è f(x) diverso da z?

perchè f(x) diverso da z?

grazie

[billyballo2123]

Prendi la funzione $g(z)=0$ per ogni $z\ne 1$ e $g(1)=1$; allora $\lim_{z\to 1}g(z)=0$. Poi considera la funzione $f(x)=1+x^2$; allora hai che $lim_{x\to 0}f(x)=1$. Se ora calcoli $\lim_{x\to 0}g(f(x))$ ottieni
$\lim_{x\to 0}g(1+x^2)=\lim_{x\to 0}{ ( 0 \qquad \text{se}\qquad 1+x^2\ne 1),( 1\qquad \text{se}\qquad 1+x^2=1 ):}=0$
perché quando $x\to 0$, $1+x^2\ne 1$. Se però avessimo $f(x)=1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, allora avremmo
\[
\lim_{x\to 0}g(f(x))=\lim_{x\to 0}g(1)=1.
\]

[zerbo1000]

"billyballo2123": Poi considera la funzione $f(x)=1+x^2$; allora hai che $lim_{x\to 0}f(x)=0$.

non fa 1?

[billyballo2123]

Si scusami è perché all'inizio avevo messo un'altra funzione
Correggo

[zerbo1000]

non si può dire semplicemente che con le constanti non funziona, nel senso l'unico modo per cui lim f(x)=l e f(x)=l è che f(x) sia una costante no?

cioè se f(x) è una costante anche g((fx)) diventa una costante quindi addio funzioni a quindi addio giusto risultato del limite?
è cosi?

[billyballo2123]

No in realtà è necessario che in un intorno del punto in cui stai calcolando il limite di $f$, $f$ sia diversa da $z$.

[zerbo1000]

capito grazie, quindi se mi chiedo il perche

vediamo se ho capito

prendiamo f(x)=1 e g(z)=z

lim f(x)=1 lim g(z)=0 per x ->0

ma se facessi lim(g(f(x) avrei lim g(1) = lim 1 = 1

mentre invece lim g(z) = 0 , non 1

è cosi?

[billyballo2123]

No questa è un'altra cosa:
Le ipotesi dicono: sia $\lim_{x\to x_0}f(x)=z_0$ con $f(x)\ne z_0$ in un intorno di $x_0$ e sia $\lim_{z\to z_0}g(z)=y_0$. Allora $\lim_{x\to x_0}g(f(x))=y_0$.
Nell'esempio che hai fatto te non sono soddisfatte le ipotesi: $z\to z_0=0$, ma $\lim_{x\to 0}f(x)=1\ne z_0$.

[zerbo1000]

però z0 è 1 perche ha scritto diverso da uno alla fine?

forse il problema nel mio esempio è che z ->1 e che quindi in realtà in questo esempio il teorema è valido?

[billyballo2123]

Il fatto è che $z_0$ compare due volte: una volta quando scrivi $\lim_{x\to x_0}f(x)=z_0$, e l'altra quando scrivi $\lim_{z\to z_0}g(z)=y_0$. E $z_0$ deve essere uguale in entrambi i casi. Nel tuo esempio non è così.

[zerbo1000]

si è quello che ho detto