Teorema calcolo integrale

[GiacomoP93]

ciao a tutti!

volevo sapere...
se si considera una funzione in un intervallo chiuso e limitato e continua si dimostrano il teorema della media e l' esistenza di una primitiva che corrisponde alla funzione integrale... ora volevo sapere se cade l' ipotesi della continuita il teorema della media e l' esistenza della primitiva sono ancora validi?perche l'integrale esiste anche se la funzione è discontinua basta che i suoi punti di discontinuita sia trascurabile...quindi volevo sapere sesi potevano dimostrare ugualmnte anche i teoremi... grazie in anticipo!

[gugo82]

Dipende da se vuoi cambiare gli enunciati o no.

Per quel che riguarda il Teorema della Media Integrale, senza l'ipotesi di continuità hai solo il risultato che segue:

Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) limitata ed integrabile secondo Riemann.
Esiste almeno un punto \(\lambda \in [\inf f,\sup f]\) tale che:
\[
\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\ \text{d} x =\lambda\; .
\]

che è un'immediata conseguenza della definizione di integrale definito.
Se la \(f\) è continua in \([a,b]\) allora per il teorema dei valori intermedi si ha certamente \(\lambda=f(c)\) per almeno un opportuno \(c\in [a,b]\) (così recuperi il TMI che hai citato sopra); tuttavia, se \(f\) non è continua, in generale \(\lambda\) non è un valore preso da \(f\).

Ad esempio, prendi:
\[
f(x):= \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq x<1\\
1 &\text{, se } 1\leq x\leq 2
\end{cases}
\]
di modo che:
\[
\frac{1}{2-0}\ \int_0^2 f(x)\ \text{d} x = \frac{1}{2} \left( \cancel{\int_0^1 0\ \text{d} x} + \int_1^2 1\ \text{d} x\right) = \frac{1}{2}
\]
ed il valore della media integrale, pur appartenendo all'intervallo \([0,1]\), non è affatto un valore preso da \(f\)

Per quanto riguarda le primitive, la situazione è un po' più delicata.
Praticamente, stai chiedendo se una funzione non continua può essere pensata come la derivata di una funzione derivabile.
Questo è un prolema affrontato da parecchi matematici nei bei tempi andati e la sua soluzione si basa su una descrizione "fine" del comportamento della derivata prima di una funzione derivabile data da Darboux, cioé la seguente:

Sia \(u:I\to \mathbb{R}\) una funzione definita nell'intervallo \(I\).
Se \(u\) è derivabile in \(I\), la derivata prima \(u^\prime :I\to \mathbb{R}\) gode della proprietà dei valori intermedi, cioé, comunque si fissi un sottointervallo \([a,b]\subseteq I\), la funzione \(u^\prime\) assume in \([a,b]\) tutti i valori tra \(u^\prime(a)\) ed \(u^\prime (b)\).

Chiaramente, ogni funzione continua soddisfa la proprietà dei valori intermedi di Darboux; questo non stupisce, perché dal Teorema Fondamentale del Calcolo segue che ogni funzione continua si può riguardare come derivata di una funzione derivabile.
D'altro canto, dal teorema di Darboux segue quasi immediatamente che non tutte le funzioni integrabili secondo Riemann possono essere derivate di funzioni derivabili, i.e. che non tutte le funzioni integrabili à la Riemann sono dotate di primitiva.

Ad esempio, la funzione \(f\) dell'esempio precedente è integrabile secondo Riemann in \([0,2]\), ma non è affatto dotata di primitiva: infatti, se lo fosse, esisterebbe una funzione \(F\) derivabile in \(]0,2[\) tale che \(F^\prime =f\) in \(]0,2[\); per il teorema di Darboux, allora, \(f\) dovrebbe godere della proprietà dei valori intermedi, ma ciò è assurdo, poiché prendendo \([a,b]=[1/2,3/2]\), la \(f\) non prende tutti i valori compresi tra \(f(1/2)=0\) ed \(f(3/2)=1\).

Sembrerebbe che le uniche funzioni che soddisfano la proprietà dei valori intermedi di Darboux siano le funzioni continue; ma ciò non è vero.
Infatti la funzione:
\[
g(x):= \begin{cases} 2\ x\ \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
definita in \(\mathbb{R}\) soddisfa la proprietà dei valori intermedi pur non essendo continua in \(\mathbb{R}\), perché non è continua in \(0\).
La primitiva di tale \(g\) è:
\[
G(x):= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
come puoi agevolmente verificare.