Teorema Banach (contrazioni) unicità

[Teo Mi]

T(x)=x
T(y)=y
Allora x=y, ma non mi è chiara la dimostrazione anche se sembrerebbe banale.
Si ha: per la definizione di contrazione che:
d[T(x),T(y)]<= H d[x,y] e fin qui va tutto bene, ma non capisco perchè questo implichi che:
d[x,y]<= H d[x,y].... non capisco comeuna cosa possa essere minore di se stessa moltiplicata per un numero tra zero e uno.
Probabilmente mi manca un passagio logico.
Da qui in poi la dimostrazione è ovvia.
Qualcuno mi può aiutare o eventualmente mi sapete rimandare a qualche link in rete?

Grazie

[Nidhogg]

Il teorema del punto fisso di Banach viene spiegato molto bene qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... _di_Banach

[Teo Mi]

Non capisco come si dimostra l'unicità.

Quello che ho scritto nel post iniziale è corretto?
Non riesco a capire quell'ugualianza che ho indicato.

[Nidhogg]

La mappa T è iniettiva se T(x)=T(y) implica x=y!

[Teo Mi]

"leonardo":La mappa T è iniettiva se T(x)=T(y) implica x=y!

ma nelle ipotesi non so che è iniettiva anche perchè altrimenti non ci sarebbe nulla da dimostrare riguardo all'unicità, so solo che T è una contrazione.

io nei miei appunti avevo scritto questo:

d[T(x),T(y)]<= H d[x,y] e fin qui va tutto bene, ma non capisco perchè questo implichi che:
d[x,y]<= H d[x,y].... non capisco comeuna cosa possa essere minore di se stessa moltiplicata per un numero tra zero e uno.

ma mi sembra assurdo, ho sbagliato a scrivere io o è così? perchè?

scusa se insisto ma non riesco a capire

[ficus2002]

è sbagliato d(x,y)<=Hd(x,y). Invece è Hd(x,y)

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[Teo Mi]

Ok ci sono è ovvio.
Grazie

[ficus2002]

prima si dimostra l'esistenza facendo vedere che la successione definita per ricorrenza x(n+1)=T(x(n)) è di Cauchy e quindi converge a qualche x*. Si fa vedere che x* è punto fisso. Poi si suppone che esiste un altro punto fisso y* e si ha:
1) d(xn,y*) tende a d(x*,y*) per n->+inf perchè la funzione d(.,y*) è continua;
2) per l'ipotesi T contrazione si ha d(xn,y*)<=(H^n)d(x0,y*)che tende a 0 per n->+inf

dato che d(x*,y*)>=0 si ha necessariamente d(x*,y*)=0.