Teorema Banach-Caccioppoli
Salve a tutti coloro che avranno la pazienza di leggere e se volenterosi di rispondere. Sto studiando il teorema delle contrazioni di Caccioppoli e mi sono imbatturo in un ostacolo. Volevo sapere da fonte attendibile se nelle ipotesi sullo spazio metrico c'è la completezza e se no come si arriva a determinarla dimostrata che la successione converge ad un elemento ed è fondamentale.
Grazie comunque, S.P.
Grazie comunque, S.P.
Risposte
"S.P":
Salve a tutti coloro che avranno la pazienza di leggere e se volenterosi di rispondere. Sto studiando il teorema delle contrazioni di Caccioppoli e mi sono imbatturo in un ostacolo. Volevo sapere da fonte attendibile se nelle ipotesi sullo spazio metrico c'è la completezza.
Sì.
Esempio banale.
Considera lo spazio metrico \(X:=]0,1/3]\) con la metrica del valore assoluto e la funzione \(\phi :X\ni x\to x^2\in X\).
Evidentemente \(X\) non è completo (poiché, ad esempio, la successione di Cauchy \((3^{-n})\) non converge in \(]0,1/3]\)); altrettanto evidentemente \(\phi\) è una contrazione di \(X\) (difatti \(|\phi (x_1)-\phi (x_2)|=|x_1+x_2|\cdot |x_1-x_2|\leq \frac{2}{3} |x_1-x_2|\) per ogni \(x_1,x_2\in X\)).
Tuttavia \(\phi\) non ha punti fissi in \(X\): infatti le uniche soluzioni dell'equazione dei punti fissi, i.e. \(\phi (x)=x\), non appartengono a \(X\).
Quindi la completezza dello spazio metrico sottostante è una ipotesi indispensabile per la validità del teorema.
Considera lo spazio metrico \(X:=]0,1/3]\) con la metrica del valore assoluto e la funzione \(\phi :X\ni x\to x^2\in X\).
Evidentemente \(X\) non è completo (poiché, ad esempio, la successione di Cauchy \((3^{-n})\) non converge in \(]0,1/3]\)); altrettanto evidentemente \(\phi\) è una contrazione di \(X\) (difatti \(|\phi (x_1)-\phi (x_2)|=|x_1+x_2|\cdot |x_1-x_2|\leq \frac{2}{3} |x_1-x_2|\) per ogni \(x_1,x_2\in X\)).
Tuttavia \(\phi\) non ha punti fissi in \(X\): infatti le uniche soluzioni dell'equazione dei punti fissi, i.e. \(\phi (x)=x\), non appartengono a \(X\).
Quindi la completezza dello spazio metrico sottostante è una ipotesi indispensabile per la validità del teorema.
Senza la completezza dello spazio non si può dimostrare l'esistenza del punto fisso. Provavo non includendola inizialmente tra le ipotesi , a dimostrarla con le ipotesi che mi erano note , ma senza successo al punto tale che mi è sorto il dubbio.
Grazie comunque, è bello avere un supporto valido, dove per supporto intendo parte della rete in cui le risposte non banali sono diverse in numero da zero.
Grazie comunque, è bello avere un supporto valido, dove per supporto intendo parte della rete in cui le risposte non banali sono diverse in numero da zero.
"S.P":
Grazie comunque, è bello avere un supporto valido, dove per supporto intendo parte della rete in cui le risposte non banali sono diverse in numero da zero.
E' un complimento, vero? [size=70]modalità ironia inserita[/size]
Sicuramente.
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