Teorema accennato sul testo di Prodi
Nel testo Lezioni di Analisi Matematica 2 di Giovanni Prodi viene fatto riferimento ad un teorema di topologia che viene definito noto al lettore e che riporto testualmente:
"Se \(\displaystyle D \) è un aperto limitato connesso di \(\displaystyle R^2 \) con frontiera di classe \(\displaystyle C^1 \) a tratti e senza tagli (cioè $\forall p \in Fr(D)$ l'insieme $D \bigcap B_r(p)$ è connesso), allora $D$ è unione di un numero finito di insiemi normali rispetto ad $x$ e ad $y$ di classe $C^1$ a tratti".
A parte che non capisco bene il discorso della frontiera "priva di tagli" in quanto non capisco se la proprietà deve valere per ogni raggio $r > 0$ dell'intorno sferico del punto $p$ oppure se basta che esista un $r$ con tale proprietà; questo teorema che viene definito noto al lettore non lo trovo in rete da nessuna parte, non so se è presente in qualche testo di topologia. Ho provato ad imbastire una dimostrazione senza arrivare a nulla di concreto.
Qualcuno ne sa qualcosa e può darmi una mano?
Grazie.
"Se \(\displaystyle D \) è un aperto limitato connesso di \(\displaystyle R^2 \) con frontiera di classe \(\displaystyle C^1 \) a tratti e senza tagli (cioè $\forall p \in Fr(D)$ l'insieme $D \bigcap B_r(p)$ è connesso), allora $D$ è unione di un numero finito di insiemi normali rispetto ad $x$ e ad $y$ di classe $C^1$ a tratti".
A parte che non capisco bene il discorso della frontiera "priva di tagli" in quanto non capisco se la proprietà deve valere per ogni raggio $r > 0$ dell'intorno sferico del punto $p$ oppure se basta che esista un $r$ con tale proprietà; questo teorema che viene definito noto al lettore non lo trovo in rete da nessuna parte, non so se è presente in qualche testo di topologia. Ho provato ad imbastire una dimostrazione senza arrivare a nulla di concreto.
Qualcuno ne sa qualcosa e può darmi una mano?
Grazie.
Risposte
La cosa su $r$ me la sono chiesta anche io, ma il quantificatore deve essere universale e non esistenziale sennò è facile trovare controesempi (cercali).
La condizione della frontiera senza tagli è un po' strana, però nota che se non altro implica che in un punto in cui la frontiera fa un angolo netto, l'angolo esterno non può essere minore di un angolo retto.
Un teorema del genere non mi viene in mente, però mi fa pensare a uno simile in cui l'ipotesi è che l'insieme sia convesso (ipotesi più forte) e la tesi è che la frontiera sia un unione finita di grafici di funzioni "normali", cioè in cui $y$ è in funzione di $x$, e altre in cui è $x$ ad essere in funzione di $y$.
Questo dovresti riuscire a trovarlo e forse può esserti utile a pensare al tuo, per ora non mi viene in mente altro.
La condizione della frontiera senza tagli è un po' strana, però nota che se non altro implica che in un punto in cui la frontiera fa un angolo netto, l'angolo esterno non può essere minore di un angolo retto.
Un teorema del genere non mi viene in mente, però mi fa pensare a uno simile in cui l'ipotesi è che l'insieme sia convesso (ipotesi più forte) e la tesi è che la frontiera sia un unione finita di grafici di funzioni "normali", cioè in cui $y$ è in funzione di $x$, e altre in cui è $x$ ad essere in funzione di $y$.
Questo dovresti riuscire a trovarlo e forse può esserti utile a pensare al tuo, per ora non mi viene in mente altro.
"otta96":
La cosa su $r$ me la sono chiesta anche io, ma il quantificatore deve essere universale e non esistenziale sennò è facile trovare controesempi (cercali).
La condizione della frontiera senza tagli è un po' strana, però nota che se non altro implica che in un punto in cui la frontiera fa un angolo netto, l'angolo esterno non può essere minore di un angolo retto.
Sicuramente il quantificatore sottointeso nella definizione dovrebbe proprio essere quello universale, come scrivi.
Non riesco purtroppo a visualizzare bene questa definizione di frontiera "senza tagli" (di cui non avevo mai sentito parlare prima e che non trovo da nessunissima parte) ed infatti anche l'esempio che suggerisci, se ho capito bene ciò che intendi, non mi torna, come nell'insieme connesso (ma non convesso) che ho grossolanamente disegnato qui sotto a forma di "V" dove nel punto $P$ l'angolo esterno è acuto ma mi sembra che l'intersezione dell'intorno sferico con l'insieme sia ancora connessa, come richiesto dalla definizione.
Probabilmente sono io che non riesco proprio a capire il significato di questa condizione che in un certo senso mi sembra che dovrrebbe essere sempre verificata (ma ovviamente non può essere così, altrimenti non sarebbe nemmeno enunciata) in quanto l'intorno sferico è un insieme "pieno" che come tale contiene tutti i punti del piano che si trovano ad una certa distanza dal pnto $P$, per cui una volta che l'interseco con un aperto connesso dovrei ottenere ancora un insieme connesso.
Ma il punto che smentisce la definizione non è $P$ infatti, ma quegli altri sui lati che hanno $P$ come estremo.
Immaginavo di non aver capito bene quello che intendevi. Sarà la volta buona che mi compro un compasso in modo da disegnare degli intorni sferici che rendano l'idea.
Comunque è curioso che l'insieme considerato che non verifica le ipotesi del teorema, verifica invece la tesi in quanto si ottiene molto facilmente come unione di due insiemi normali (basta tracciare la verticale per il punto $P$). Diciamo che non funziona come controesempio, certo però che il "mistero" si infittisce...
Non penso che un teorema scritto su un testo come quello di Giovanni Prodi possa non essere vero, nel senso che viene inserita un'ipotesi inutile, anche se in realtà questo teroema compare nell'appendice finale del testo che è stata redatta dai due matematici che hanno curato questa edizione e non dallo stesso Prodi.
Diciamo che, appunto, il "mistero" si infittisce...
Comunque è curioso che l'insieme considerato che non verifica le ipotesi del teorema, verifica invece la tesi in quanto si ottiene molto facilmente come unione di due insiemi normali (basta tracciare la verticale per il punto $P$). Diciamo che non funziona come controesempio, certo però che il "mistero" si infittisce...
Non penso che un teorema scritto su un testo come quello di Giovanni Prodi possa non essere vero, nel senso che viene inserita un'ipotesi inutile, anche se in realtà questo teroema compare nell'appendice finale del testo che è stata redatta dai due matematici che hanno curato questa edizione e non dallo stesso Prodi.
Diciamo che, appunto, il "mistero" si infittisce...
Vorrei spostare questo thread nella sezione Analisi Matematica visto che si parla soprattutto degli insiemi normali che sono un argomento tipico dell'analisi.
Inoltre, se è possibile, volevo cambiare il titolo eliminando "di tolpologia".
Vorrei farlo da me senza disturbare i Mod ma non so come procedere.
Grazie.
Inoltre, se è possibile, volevo cambiare il titolo eliminando "di tolpologia".
Vorrei farlo da me senza disturbare i Mod ma non so come procedere.
Grazie.
Spostarlo di sezione non puoi e modificarlo nemmeno perchè è passato troppo tempo.
[xdom="Martino"]Spostato.[/xdom]
Ringrazio il mod Martino per aver spostato il thread in questa sezione visto che si parla sostanzialmente di insiemi normali che è un argomento di analisi.
Forse la dimostrazione di questo teorema non è nemmeno complicata, ma tutto ciò che mi viene in mente alla fine non mi aiuta. Ad esempio, so che una curva regolare è localmente grafico di una funzione, ma appunto si tratta di una proprietà locale. Inoltre non riesco ad utilizzare questa proprietà "strana" (o almeno io non ne avevo mai sentito parlare) della frontiera senza "tagli".
Forse la dimostrazione di questo teorema non è nemmeno complicata, ma tutto ciò che mi viene in mente alla fine non mi aiuta. Ad esempio, so che una curva regolare è localmente grafico di una funzione, ma appunto si tratta di una proprietà locale. Inoltre non riesco ad utilizzare questa proprietà "strana" (o almeno io non ne avevo mai sentito parlare) della frontiera senza "tagli".
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