Teorema

[Sk_Anonymous]

Conoscete una dimostrazione di questo teorema?

Sia $F(t):RR->CC,F(t)=0$ $AAt<0$ una funzione di ordine esponenziale $alpha in RR_0^+$,allora:

esiste $ccL[F(t)](s) AA s in CC:Re(s)>alpha$.

[Sk_Anonymous]

Io c'ho questa ma non mi convince:

$|e^(-st)F(t)|=e^(-Re(s)*t)|F(t)|<=Me^(-Re(s)t)e^(alpha*t)=Me^(-(Re(s)-alpha)*t)$ che è $in L^1(RR)$ se $Re(s)-alpha>0$ (PERCHè????) da cui la tesi.

Ricordo che
$F:RR->CC, F(t)=0$ $AAt<0$ è di ordine exp $alpha in RR_0^+$ se esiste una costante $M>0$ tale che $|F(t)|<=Me^(alpha*t),AAt>bart>0$

[Kroldar]

Se una funzione $x(t)$ nulla per $t<0$ è di ordine esponenziale di costante $alpha$ vuol dire che

$lim_(t to +oo) x(t)e^(-alphat) = 0$

e ciò implica che intorno a $+oo$ la funzione $x(t)$ non maggiora la funzione $e^(alphat)$ quindi risulta

$|x(t)| <= e^(alphat)$

da cui segue che

$|x(t)e^(-st)| <= e^((alpha - Re{s}) t)$

e quindi la funzione $x(t)$ è assolutamente trasformabile in senso unilatero per $Re{s}>alpha$.

EDIT: ora mi sono accorto della tua aggiunta, che in sostanza dice le stesse cose che ti ho detto io.

[Nebula2]

"Kroldar":Se una funzione $x(t)$ nulla per $t<0$ è di ordine esponenziale di costante $alpha$ vuol dire che

$lim_(t to +oo) x(t)e^(-alphat) = 0$

sicuro?

non $lim_(t to +oo) x(t)e^(-alphat) = 1$ ?

[Kroldar]

Fidati, è come ho scritto io

[Nebula2]

$x(t)=e^{alphat}$ $per$ $x>=0
$x(t)=0$ $per$ $x<0$

non è di ordine esponenziale?

e se x è lineare il limite è zero, ma x non è di ordine esponenziale.

dammi una rinfrescata di definizioni, che non me le ricordo mai....

[Kroldar]

"Nebula":$x(t)=e^{alphat}$ $per$ $x>=0
$x(t)=0$ $per$ $x<0$

Capisco la tua obiezione. La risposta è semplice: nel momento in cui vuoi verificare se una funzione è di ordine esponenziale devi definirla.
Quindi la scrittura
$x(t)=e^{alphat}$ $per$ $x>=0
$x(t)=0$ $per$ $x<0$
identifica un'unica funzione per un certo valore di $alpha$ fissato. Supponiamo nel caso peggiore che sia $alpha>0$. A questo punto possiamo trovare un valore, chiamiamolo $sigma$ tale che $lim_(t to +oo) e^(-sigmat) e^(alphat) = 0$. Come si trova $sigma$? Semplicemente notando che $e^(-sigmat) e^(alphat) = e^(-(sigma-alpha)t)$ e quindi basta scegliere $sigma$ tale che $sigma-alpha>0$ da cui $sigma>alpha$.

[Nebula2]

beh... non capisco la tua risposta.

dicevo che se x è di ordine esp $alpha$ allora mi sembrava che $lim_(t to +oo) x(t)e^(-alphat) = 1$ (o qualsiasi costante diversa da 0).

il fatto che esista $beta$ $|lim_(t to +oo) x(t)e^(-beta) = 0$ non mi sembra lo contraddica.

oltre al fatto che mi sembra valga quello che dicevo a proposito di x lineare.

[Kroldar]

Non mi credi? Ok allora proviamo a fare un esempio... prendiamo la funzione $e^(-t)$. Ovviamente sappiamo che essa è di ordine esponenziale di costante qualunque purché sia maggiore di $-1$. Ma il limite

$lim_(t to +oo) e^(-t) e^(-sigmat) = 0$

nell'ipotesi di scegliere $sigma > -1$.

Ordine esponenziale non vuol dire che varia come un'esponenziale, ma che non cresce più velocemente di un'esponenziale. I polinomi sono di ordine esponenziale ad esempio.

[Nebula2]

"Kroldar":Ordine esponenziale non vuol dire che varia come un'esponenziale, ma che non cresce più velocemente di un'esponenziale.

era questo che non mi ricordavo.
mi ricordavo che dire che una funzione in un certo punto, o all'infinito, ha un ordine esponenziale significasse che ha un ordine di infinito esponenziale.