Teorema
ad un corso con la scuola extrascolastico, ci è stata presentata una conseguenza del TEOREMA DI BANACH-CACCIOPPOLI(TEOREMA DEL PUNTO FISSO) la quale un punto è stabile se |f'|<1
ma il teorema intero cos'è che die? volevo sapere giusto qualcosa di più,...
ma il teorema intero cos'è che die? volevo sapere giusto qualcosa di più,...
Risposte
io come Teorema di Banach-Cacciopoli conosco il Teorema delle Contrazioni, ossia
DEF T contrazione nello spazio metrico completo {X,d} se $d{Tx,Ty} <= K d{x,y}$ con 0
TH. T ha uno e un solo punto fisso in {X,d}, tale che Tx=x
è importante perchè attraverso questo teorema si dimostra anche il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali
DEF T contrazione nello spazio metrico completo {X,d} se $d{Tx,Ty} <= K d{x,y}$ con 0
TH. T ha uno e un solo punto fisso in {X,d}, tale che Tx=x
è importante perchè attraverso questo teorema si dimostra anche il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali
confermo...
si può dim anche il teorema delle funzioni implicite ("di Dini")
a me ha sempre colpito la potenza impressionante di un risultatino così banale...
si può dim anche il teorema delle funzioni implicite ("di Dini")
a me ha sempre colpito la potenza impressionante di un risultatino così banale...
beh perchè banale?
@fu^2
banale perché la dim è facilotta e le strutture coinvolte non sembrano essere così potenti (anche se gli spazi metrici completi non scherzano), rispetto ad una conseguenza come quella del teorema di esistenza ed unicità per pb di Cauchy
comunque, riferivo più che altro una mia "sensazione" personale
@giuseppe87
quasi...
nel senso che questo "caso particolare" del teorema delle contrazioni richiede un po' di attenzione
come l'hai enunciato è falso (X = [0,1] e f(x) = 47 + x/2 è un controesempio)
un po' stranamente, l'aspetto più delicato è garantire che la f mandi X in se stesso
- o si fa i furbi, dicendo che f:X -> X (e si nasconde la difficoltà sotto il tappeto)
- o bisogna dedicare la dovuta attenzione a garantire che la f:X -> R mappi effettivamente X (o un suo sottoinsieme chiuso e limitato) in se stesso
sistemata la faccenda, certo, è il teorema delle contrazioni versione junior
banale perché la dim è facilotta e le strutture coinvolte non sembrano essere così potenti (anche se gli spazi metrici completi non scherzano), rispetto ad una conseguenza come quella del teorema di esistenza ed unicità per pb di Cauchy
comunque, riferivo più che altro una mia "sensazione" personale
@giuseppe87
quasi...
nel senso che questo "caso particolare" del teorema delle contrazioni richiede un po' di attenzione
come l'hai enunciato è falso (X = [0,1] e f(x) = 47 + x/2 è un controesempio)
un po' stranamente, l'aspetto più delicato è garantire che la f mandi X in se stesso
- o si fa i furbi, dicendo che f:X -> X (e si nasconde la difficoltà sotto il tappeto)
- o bisogna dedicare la dovuta attenzione a garantire che la f:X -> R mappi effettivamente X (o un suo sottoinsieme chiuso e limitato) in se stesso
sistemata la faccenda, certo, è il teorema delle contrazioni versione junior
Esiste un'altra versione equivalente del suddetto teorema che recita: Sia $f:X->X$, $X$ chiuso e limitato e si supponga $f$ lipschitziana con costante di lipschitzianità $Lin[0,1[$. Allora esiste un unico $x^*inX$ tale che $f(x^*)=x^*$. Inoltre la successione definita per ricorrenza ponendo $a_(1)=x_(0)inX$ e $a_(n+1)=f(a_(n))$ converge proprio a $x^*$ che è così un p.to fisso per la funzione.
@Fioravante: ho editato.
ho visto... 
il mio commento si riferiva ad una versione in cui non si richiedeva che f andasse in X ma semplicemente in R
comunque, la sostanza del mio commento resta, nel senso che occorrerà faticare per provare che f manda un opportuno X in sé
ciao
il mio commento si riferiva ad una versione in cui non si richiedeva che f andasse in X ma semplicemente in R
comunque, la sostanza del mio commento resta, nel senso che occorrerà faticare per provare che f manda un opportuno X in sé
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo