Teor. degli accrescim. finiti (f a valore in sp. normato)
Salve a tutti. Sono un laureando (triennale) in matematica. Nel corso di Analisi 3 mi è stato presentato il seguente teorema (senza dimostrazione), poi molto utile nella dimostrazione di numerosi altri risultati. Ne ho cercato in lungo e in largo la dimostrazione senza trovarla. Lo propongo a voi, sperando possiate soddisfare la mia curiosità!
Teorema degli accrescimenti finiti
$I sub RR$ intervallo, $(E,||cdot||)$ spazio normato, $f:I->E$ derivabile in I, $g:I->RR$ derivabile.
Supp. che $AAx in I : ||f'(x)||<=g'(x)$. Allora $AA x, y in I: ||f(x)-f(y)||<=|g(x)-g(y)|$.
Inoltre il prof. ha osservato che questo teorema è una sorta di corrispettivo del teorema di Lagrange per funzioni $RR->RR$.
Teorema degli accrescimenti finiti
$I sub RR$ intervallo, $(E,||cdot||)$ spazio normato, $f:I->E$ derivabile in I, $g:I->RR$ derivabile.
Supp. che $AAx in I : ||f'(x)||<=g'(x)$. Allora $AA x, y in I: ||f(x)-f(y)||<=|g(x)-g(y)|$.
Inoltre il prof. ha osservato che questo teorema è una sorta di corrispettivo del teorema di Lagrange per funzioni $RR->RR$.
Risposte
Grazie della segnalazione.
Ad essere sincero, però, anche dopo aver letto attentamente più volte la discussione che mi hai segnalato, non sono riuscito a "tirar fuori" una dimostrazione per il teorema oggetto del mio post.
A proposito del "surrogato", ho visto a lezione anche un teorema simile a quello da te proposto:
$Omega sub RR^n$ convesso, $(E,||cdot||)$ sp. normato. $f:Omega->E$ derivabile parzialmente in $Omega$ con derivate parziali continue (e quindi differenziabile in $Omega$). Supp. che $EEM>=0$ $t.c.$ $AAx in Omega: ||gradf(x)||<=M$ (si ricorda che $gradf(x)=((partialf)/(partialx_1)(x),...,(partialf)/(partialx_n)(x))inE^n$). Allora $AA x,y in Omega: ||f(x)-f(y)||<=M||x-y||$ (dunque f è Lipschitziana).
Nella dim., considerati $x,y in Omega, x!=y$, si utilizza la parametrizzazione del segmento $[x,y]$, $phi:[0,1]->RR^n$ $t.c.$ $phi(t)=x+t(y-x)$, per poi applicare il teorema degli accrescimenti finiti (quello oggetto di questo topic) alla funzione $F=fcircphi$ (è essenziale la disuguaglianza di Holder nel passaggio più delicato).
Da notare che nel caso unidimensionale $f:I->E$ derivabile, con derivata prima limitata ($EE M>=0$ $t.c.$ $AAx in I: ||f'(x)||<=M$), allora $||f(x)-f(y)||<=M|x-y|$ è una banale conseguenza del "mio" teorema degli accrescimenti finiti.
Ad essere sincero, però, anche dopo aver letto attentamente più volte la discussione che mi hai segnalato, non sono riuscito a "tirar fuori" una dimostrazione per il teorema oggetto del mio post.
A proposito del "surrogato", ho visto a lezione anche un teorema simile a quello da te proposto:
$Omega sub RR^n$ convesso, $(E,||cdot||)$ sp. normato. $f:Omega->E$ derivabile parzialmente in $Omega$ con derivate parziali continue (e quindi differenziabile in $Omega$). Supp. che $EEM>=0$ $t.c.$ $AAx in Omega: ||gradf(x)||<=M$ (si ricorda che $gradf(x)=((partialf)/(partialx_1)(x),...,(partialf)/(partialx_n)(x))inE^n$). Allora $AA x,y in Omega: ||f(x)-f(y)||<=M||x-y||$ (dunque f è Lipschitziana).
Nella dim., considerati $x,y in Omega, x!=y$, si utilizza la parametrizzazione del segmento $[x,y]$, $phi:[0,1]->RR^n$ $t.c.$ $phi(t)=x+t(y-x)$, per poi applicare il teorema degli accrescimenti finiti (quello oggetto di questo topic) alla funzione $F=fcircphi$ (è essenziale la disuguaglianza di Holder nel passaggio più delicato).
Da notare che nel caso unidimensionale $f:I->E$ derivabile, con derivata prima limitata ($EE M>=0$ $t.c.$ $AAx in I: ||f'(x)||<=M$), allora $||f(x)-f(y)||<=M|x-y|$ è una banale conseguenza del "mio" teorema degli accrescimenti finiti.
Si ho capito, questo "teorema degli accrescimenti finiti" è un vezzo di Altomare ma si tratta di una terminologia che non si usa granché. Secondo Lang, in questi casi va usato "come riflesso condizionato" il teorema fondamentale del calcolo integrale. Esso vale anche per funzioni definite su un intervallo e a valori in uno spazio di Banach, e ti permette di dimostrare subito il teorema degli accrescimenti finiti:
Teorema Sia $E$ uno spazio di Banach, $I$ un intervallo, $f : I \to E$ e $g:I \to RR$ due funzioni di classe $C^1$. Se $||f'(x)|| \le g'(x)$ allora $||f(x)-f(y)|| \le |g(x)-g(y)|$.
Dimostrazione Siano $x, y \in I$. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale
$f(x)-f(y)=\int_y^x f'(t)\ dt$,
perciò
$||f(x)-f(y)||le | \int_x^y ||f'(t)||dt|\le |int_x^y g'(t)dt|=|g(x)-g(y)|$. ////
Ecco tutto. Si, hai fatto una richiesta in più ed è la classe $C^1$ delle funzioni coinvolte (Altomare richiede la sola derivabilità). Ma questo è ampiamente compensato dal fatto che la dimostrazione ora è semplicissima ed è anzi un metodo che conviene farsi entrare nell'inconscio: quando si vuole passare da un "incremento infinitesimo" ad un incremento finito (o viceversa), conviene sempre usare un integrale, e non un teorema preconfezionato.
Teorema Sia $E$ uno spazio di Banach, $I$ un intervallo, $f : I \to E$ e $g:I \to RR$ due funzioni di classe $C^1$. Se $||f'(x)|| \le g'(x)$ allora $||f(x)-f(y)|| \le |g(x)-g(y)|$.
Dimostrazione Siano $x, y \in I$. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale
$f(x)-f(y)=\int_y^x f'(t)\ dt$,
perciò
$||f(x)-f(y)||le | \int_x^y ||f'(t)||dt|\le |int_x^y g'(t)dt|=|g(x)-g(y)|$. ////
Ecco tutto. Si, hai fatto una richiesta in più ed è la classe $C^1$ delle funzioni coinvolte (Altomare richiede la sola derivabilità). Ma questo è ampiamente compensato dal fatto che la dimostrazione ora è semplicissima ed è anzi un metodo che conviene farsi entrare nell'inconscio: quando si vuole passare da un "incremento infinitesimo" ad un incremento finito (o viceversa), conviene sempre usare un integrale, e non un teorema preconfezionato.
Perfetto! Grazie.
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