Teo. sull' integrabilità delle funzioni continue e monotone

[kily2001]

Ciao a tutti,

quale è il teorema sull' integrabilità delle funzioni continue e monotone?

grazie mille!

[Principe2]

nessuno!!

o meglio sono due teoremi distinti

th1: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile

th2: una funzione monotona su un chiuso e limitato è integrabile

[Nebula2]

dipende... si sta parlando di integrale di riemann o di lebesgue?

[Lorenzo Pantieri]

"ubermensch":
th1: una funzione continua su un limitato è integrabile

Io direi meglio: "una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato". Gli integrali generalizzati, infatti, non sono integrali di Riemann propriamente detti.

"ubermensch":
th2: una funzione limitata su un limitato è integrabile

Ovviamente, volevi dire "funzione monotona".

Si sta parlando dell'integrale di Riemann, per cui vale, in effetti, un risultato più preciso (dovuto a Lebesgue): una funzione limitata è integrabile su $[a,b]$ se e solo se i suoi punti di discontintuità sono un insieme di misura (di Lebesgue) nulla.

Nella teoria dell'integrazione di Lebesgue le funzioni integrabili sono ancora "di più", ma non tutte lo sono: esistono funzioni limitate ma non L-integrabili su $[a,b]$.

Ciao,
L.

[Principe2]

"Lorenzo Pantieri":
[quote="ubermensch"]
th2: una funzione limitata su un limitato è integrabile

Ovviamente, volevi dire "funzione monotona".
[/quote]

certo! ho corretto

P.s. ho migliorato anche il th1. Effettivamente hai ragione.

P.p.s: a questo punto la chiusura ci va anche sul secondo, altrimenti ci troviamo ad esempio $1/x$ in $(0,1]$...