Tensore cartesiano contrazione

[ralf86]

Dato un tensore cartesiano di rango 5 (cioè con 5 indici) ha senso contrarre su 3 dei suoi indici? La domanda sorge dal fatto che nei testi si parla di contrazione su soli 2 indici.
Grazie

[dissonance]

Effettivamente in genere si contraggono indici due alla volta. Però non vedo problemi nello scrivere
\[
(CT)_{j{}k}:=\sum_i T_{i{}i{}i{}j{}k}.\]
Però, probabilmente questa non è una operazione "geometrica", ovvero, non corrisponde a nessuna trasformazione naturale.

[pilloeffe]

Ciao ralf86,

Prendi ciò che sto per dirti con le molle perché vado un po' a memoria di cose che ho visto un bel po' di anni fa...
Mi pare di ricordare però che l'operazione di contrazione degli indici si faccia sui tensori misti, cioè aventi indici sia in alto che in basso, cioè se di rango $5 $ del tipo seguente:

$ T_{\qquad \qquad j_1 j_2}^{i_1 i_2 i_3} $

L'operazione di contrazione che ho sempre visto consiste nel prendere $2 $ indici, uno in alto ed uno in basso, e porli uguali ad uno stesso indice $k$:

$ U_{\qquad j_2}^{i_1 i_2} := T_{\qquad \qquad k j_2}^{i_1 i_2 k} \overset{E}{=} sum_{k = 1}^n T_{\qquad \qquad k j_2}^{i_1 i_2 k} = T_{\qquad \qquad 1 j_2}^{i_1 i_2 1} + T_{\qquad \qquad 2 j_2}^{i_1 i_2 2} + ... + T_{\qquad \qquad n j_2}^{i_1 i_2 n} $

ove con la $E $ sopra l'uguale si intende che vale la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti. Ora si può ripetere l'operazione di contrazione degli indici sul tensore $ U_{\qquad j_2}^{i_1 i_2} $ ponendo ad esempio $ i_2 = j_2 = l $ ed il risultato di queste operazioni è effettivamente un tensore: in generale ciò non accade se si contraggono due indici in alto o due indici in basso.

[killing_buddha]

Si contraggono solo coppie di indici perche' la contrazione, senza coordinate, corrisponde all'applicare un tensore metrico, che e' (per definizione) di rango (1,1).