Tempo invarianza operatore differenziale
Ciao a tutti,
scusate la domanda stupida... se ho un'equazione differenziale lineare ordinaria di questa forma:
\(\displaystyle g(y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \)
allora è vero oppure falso che:
\(\displaystyle g(y(t-t_0),y'(t-t_0),...,y^{(n)}(t-t_0))=f(t-t_0) \)
Mi viene naturale rispondere sì, se immagino una qualunque combinazione lineare di operatori di derivazione, ma non sono convinto che sia inattaccabile come risposta.
Non è che la tempo-invarianza va inserita proprio come ipotesi, nel caso occorra?
Grazie in anticipo.
scusate la domanda stupida... se ho un'equazione differenziale lineare ordinaria di questa forma:
\(\displaystyle g(y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \)
allora è vero oppure falso che:
\(\displaystyle g(y(t-t_0),y'(t-t_0),...,y^{(n)}(t-t_0))=f(t-t_0) \)
Mi viene naturale rispondere sì, se immagino una qualunque combinazione lineare di operatori di derivazione, ma non sono convinto che sia inattaccabile come risposta.
Non è che la tempo-invarianza va inserita proprio come ipotesi, nel caso occorra?
Grazie in anticipo.
Risposte
"Silent":
Non è che la tempo-invarianza va inserita proprio come ipotesi, nel caso occorra?
Credo proprio di SI.
In generale la proprietà di traslazione della risposta per un ingresso traslato nel tempo vale solo per sistemi lineari tempo-invarianti (LTI).
Anzi un sistema LTI si definisce proprio sulla base che l’uscita generata da un segnale ritardato sia uguale
all’uscita generata dal segnale originale, ritardata della stessa quantità.
https://ferrari.faculty.polimi.it/fonda ... mi_LTI.pdf
Un controesempio quale potrebbe essere?
Grazie.
Grazie.
Un controesempio semplicissimo è l'equazione $a(t) y'(t) = f(t)$
dove $a(t) = 1(t) - 0.5*1(t-1)$, $f(t)=1(t)-1(t-1)$ e con 1(t) il gradino unitario.
E' immediato osservare che y(1) = 1. Ma per l'ingresso traslato di 1 $f(t-1) = f(t-1)-f(t-2)$, la risposta traslata di 1 avrà y(2) = 2.
dove $a(t) = 1(t) - 0.5*1(t-1)$, $f(t)=1(t)-1(t-1)$ e con 1(t) il gradino unitario.
E' immediato osservare che y(1) = 1. Ma per l'ingresso traslato di 1 $f(t-1) = f(t-1)-f(t-2)$, la risposta traslata di 1 avrà y(2) = 2.
No, aspetta, apposta avevo scritto sopra:
\( \displaystyle g(y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \)
anziché
\( \displaystyle g(t,y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \)
\( \displaystyle g(y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \)
anziché
\( \displaystyle g(t,y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \)
@Silent: Non vorrei dire una castroneria, quindi magari aspetta pareri più autorevoli del mio; non segue banalmente dalla definizione di equazione differenziale? Per definizione di equazione differenziale, l'uguaglianza $g(y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t)$ deve valere per ogni $t \in I$, con $I \subseteq \mathbb{R}$ intervallo. Quindi, per l'arbitrarietà di $t$, l'uguaglianza deve continuare a valere anche con $t-t_0$ al posto di $t$ (chiaramente, assumendo che $t-t_0$ appartenga agli opportuni insiemi di definizione delle funzioni coinvolte).
Questo continua a valere anche per equazioni non autonome: da quanto ricordo, le soluzioni di equazioni autonome avevano questa proprietà di invarianza per traslazione. Non c'entrava, invece, l'invarianza per traslazione dell'uguaglianza che definisce l'equazione differenziale, che appunto è una conseguenza immediata della definizione.
Questo continua a valere anche per equazioni non autonome: da quanto ricordo, le soluzioni di equazioni autonome avevano questa proprietà di invarianza per traslazione. Non c'entrava, invece, l'invarianza per traslazione dell'uguaglianza che definisce l'equazione differenziale, che appunto è una conseguenza immediata della definizione.
Se l'equazione è lineare e i coefficienti non dipendono dal tempo, ovvero sono costanti, è un sistema LTI per definizione e quindi soddisfa alla proprietà di traslazione nel tempo.
Giusto, grazie mille ragazzi.
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