Tema esame analisi 2 polito

[megaempire]

ciao. come risolvete questo esercizio?
Esercizio 8. (9 punti) Sia $Σ$ la superficie definita da
$Σ = {(x, y, z) ∈ R3 | x^2 + y^2 + z^2 = 6, z ≤√2},$
orientata in modo che il versore normale punti verso l’origine. Sia $F$ il campo
$F(x, y, z) = (2x + 4y, y^3, z sin x − y cos z)$.
Calcolare il flusso di rot F attraverso Σ.

[Quinzio]

Vedi teorema del rotore:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rotore

Il bordo della superficie e' la circonferenza $x^2+y^2=4, z=sqrt2$ ovvero $Gamma=(2cos t, -2sin t, sqrt 2)$.
Nota nell'ultima espressione il verso di percorrenza.

A questo punto dobbiamo calcolare
$int_Gamma F(Gamma(t)) cdot d Gamma(t)dt$
$=int_0^(2\pi) (4 cos t - 8 sin t, -8 sin ^3 t, z)cdot(-2 sin t,-2cos t, 0 )dt $
$=\int_0^(2\pi) (-8 sin t cos t+ 16 sin^2 t + 16 sin^3 t cost) dt=16\pi$

[megaempire]

non ho capito solo una cosa :
hai parametrizzato la curva con $Γ=(2cost,−2sint,√2)$, non capisco il segno meno. Mi spiego, so che la richiesta che dice il versore normale deve puntare verso il centro,in un sistema di riferimento destrosso mi porta a percorrere la superficie in senso orario. Ma come faccio a descrivere questo sui parametri?

[ciampax]

Semplicemente usando quel meno davanti al seno. Infatti, facendo variare $t\in[0,2\pi]$ con la parametrizzazione data da Quinzio percorrerai la circonferenza in senso orario, partendo dal punto $(1,0)$, poiché per $0

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[megaempire]

si adesso si grazie mille ...cmq c'è un ultimo problema...ho controllato il risultato ed esce $-16pi$

[ciampax]

Ah, per quello non so, non ho fatto i calcoli.

[Quinzio]

Chiedo scusa ciampax e megaempire, mentre scrivevo il post avevo perso di vista quel "versore normale che punta verso il centro". Di solito il versore normale in una superficie sferica lo si pone verso l'esterno, ma è solo un'abitudine.
Detto, ciò, va invertito il senso di percorrenza.
Megaempire dovrebbe notare che il verso di percorrenza si definisce positivo quando il versore normale è sulla sinistra di chi percorre il bordo, e quindi può correggere da solo la soluzione. In effetti il risultato corretto è $-16\pi$.

[megaempire]

adesso sono confuso mi spiego meglio :
mi pare che per il verso della normale abbiamo detto la stessa cosa in modo diverso. Io pensavo che mettendo il meno davanti al seno questo mi garantiva il senso di percorrenza orario...ma non è cosi?
Inoltre mi dice che z deve essere minore della radice di 2,perchè imponi z = radice di 2?

[Quinzio]

"megaempire":adesso sono confuso mi spiego meglio :
mi pare che per il verso della normale abbiamo detto la stessa cosa in modo diverso. Io pensavo che mettendo il meno davanti al senso questo mi garantiva il senso di percorrenza orario...ma non è cosi?

Aspetta, senso orario o antiorario sono concetti pericolosi qui.
Quando guardi l'orologio non hai dubbi su quale sia il verso orario perchè la superficie del quadrante dell'orologio ha un orientamento dovuto al fatto che la leggi solo da una parte.
Qui invece hai un anello che fa da bordo a una superficie. Senso orario non dice nulla.
Devi orientare la superficie (e questo te lo dice il problema su come fare), e a quel punto si definisce automaticamente il verso positivo di percorrenza del bordo.

[megaempire]

va bene...adesso che ricordo il professore ha usato proprio la tua definizione...adesso quello che non riesco a capire è come tradurre questa informazione sulla curva che utilizzo per parametrizzare

[Quinzio]

La superficie che stiamo trattando è del tutto simile alla boccia del pesce rosso da mettere in casa.



Guardando la boccia dall'alto, e sapendo che il versore normale punta all'interno (verso il pesce ), come si deve percorrere il bordo della boccia per avere il versore alla sinistra ?

[megaempire]

aspetta,abbiamo detto che per convenzione(diciamo cosi) il verso positivo è quello uscente,per avere il versore uscente mentre cammino lo devo tenere sulla sinistra e vado da 0 a 2 pigreca.
Se lo voglio entrante e quindi negativo ,mentre cammino, il versore lo devo tenere a destra e vado da 2 pigreco a 0?

[Quinzio]

"megaempire":per avere il versore uscente mentre cammino lo devo tenere sulla sinistra e vado da 0 a 2 pigreca.

Si, ma non è corretto dire "per avere il versore uscente". Il versore lo fissi tu, e quiandi automaticamente hai fissato il verso di percorrenza del bordo.
Anche il "vado a $0$ a $2\pi$" è fuorviante. Nessuno ha parlato di angoli.